Эскорт-услуги в Москве от Queens Palace


GOUSPO студенческий портал!

форум, учебники, лекции, и многое другое

Понятия.

Тема 4.  Понятия.

План:

1. Понятие как форма мышления

2. Операции над понятиями

3. Определение понятий

Цель. Формирование представление об логических формах трактовки понятий. Обучение выполнению операций над понятиями и формулировки понятий через родовое понятие и видовое отличие. Обучение умениям классификации объектов по одному и двум признакам.

Теоретические сведения

В этой теме рассматривается  теоретико-множественный подход  к такой науке как логика. Зна­ние логических приемов формирования понятий и логических операций над ними обогащает тех, кто изучает обе эти науки. Дело в том, что дискретная математика оперирует большим количе­ством новых понятий, таких, как отношения, классификации, подмножество и др., и знание основ логики поможет разобраться в их особенностях.

Место отдельных понятий в системе знаний устанавливается благодаря различным операциям над понятиями: ограничению, обобщению, определению, а также делению понятия, которые рассматриваются в этой главе.

1. Понятие как форма мышления

Историческая справка, периоды становления логики как науки.

Первый период. Логика как наука возникла в трудах выдающегося древнегреческого мыслителя Аристотеля (384 322 до н.э.). Традиционная Аристотелева логика называется классической или формальной и соответствует пер­вому периоду развития этой науки. Она создана как орудие или метод исследования формальной правильности рассуждений в зависимости от логических операций, производимых в процессе мышления. Объек­тами изучения такой логики являются различные формы мышления понятия, суждения, умозаключения, их виды и операции над ними, законы логики, доказательства и опровержения, гипотезы и т.д. Наряду с Аристотелем, тщательно разработавшим теорию дедуктивных умозак­лючений и доказательств, в классическую логику входит индуктивная ло­гика, родоначальником которой является крупнейший английский фило­соф и естествоиспытатель Френсис Бэкон (1561 1626). Значительный вклад в развитие классической логики внес также великий французский философ и математик Рене Декарт (1596—1650).

Второй период развития логики как науки связан с работами знаме­нитого немецкого философа и математика Готфрида Вильгельма Лейб­ница (1646—1716), целью которого было создание азбуки понятий и применение логики для теоретического обоснования математики. С дру­гой стороны, у Лейбница возникла идея придать рассуждениям вид вы­числений. Для этого он хотел поставить символы в соответствие поняти­ям и получить верные выводы в рассуждениях с помощью некоторых алгебраических операций. Стремясь облегчить процесс мышления, он ста­рался смотреть на классическую логику через призму математики.

Мечты Лейбница частично удалось воплотить в жизнь ирландскому математику и логику Джорджу Булю (1815 1864), который создал ал­гебру логики. В этой науке свои операции и законы похожи на привыч­ные математические. В этом разделе математики, получившем название булева алгебра, буквами обозначают высказывания как элементы мно­жества высказываний. С помощью логических операций из простых эле­ментарных высказываний строят составные, определяют, истинны они или ложны, т.е. определяют их семантическую характеристику. Алгебра Буля часть математической логики, в состав которой входят логика высказываний и логика предикатов.

Математическая логика в отличие от традиционной математики изучает логические связи и отношения, лежащие в осно­ве достоверных логических выводов. В математической логике для полу­чения достоверных выводов выявляется их структура, и на этой основе строятся логические исчисления.

Второй период развития логики связан с использованием различных математических символов, поэтому его на­зывают символическим.

Третий период. Характерной особенностью современного третьего периода развития логики является применение новых методов для исследования как традиционных, так и вновь выявленных логических проблем, свя­занных с появлением ЭВМ и информатизацией общества.

Кроме перечисленных, направлений, существует еще и диалектическая логика, отличающаяся от формальной логики своим специфическим подходом к мыш­лению. У ее истоков стояли немецкие философы Эммануил Кант (1724- 1804) и Георг Гегель (1770—1831). Особенностью диалектической логи­ки является учет противоречивости мышления, основанный на законах диалектики.

Все перечисленные разновидности логики тесно взаимосвязаны между собой и важны как для освоения других наук, так и для формирования современного эрудированного специалиста. Поэтому и необходимо на­ряду с изучением элементов математической логики познакомиться с основами формальной и диалектической логики, уделив основное вни­мание взаимосвязям с математикой и практическому применению.

Связь между математикой и логикой.

Логика и математика уделяют большое внимание работе с понятиями. В логике понятие рассматривается как форма мышления, отражающая предметы в их существенных признаках. Понятия это наши знания о неко­торых предметах и явлениях окружающего мира или о множестве сходных объектов. Глубинный смысл этих знаний заключается в установлении отношений между исследуемым понятием и другими объектами или идеями. Причем для выявления этих отношений мы используем суждения, т.е. мысли, связывающие понятия между собой. Именно с помощью суждений раскрывается сущность ис­следуемых понятий.

В свою очередь, суждения и их упрощенная модель высказывания являются объектом изучения математиче­ской логики одного из важных разделов дискретной математики. Из основных функций, свойственных понятиям, наиболее значи­мыми являются познавательная и коммуникативная направленность.

В процессе раз­вития науки знания, приобретенные опытным путем (эмпириче­ские знания), углубляются, систематизируются, обобщаются и уточ­няются. Они становятся, с одной стороны, научными данными, с другой служат средством общения между людьми в их совмест­ной деятельности, осуществляя преемственность поколений.

Различные отношения (или связи) между понятиями были изу­чены в предыдущих темах с точки зрения теоретико-множественного подхо­да. Отношения рассматриваются также в логике предикатов со­ставной части математической логики. Так, с логико-математи­ческой точки зрения предикаты есть препозиционные функции, где аргументами являются различные высказывания, т.е. логиче­ские объекты. Следовательно, изучение отношений между поня­тиями должно сочетать в себе теоретико-множественный и логический подход.

В связи с тем, что понятия естественного языка многозначны, часто приходится уточнять их определения в информации разного вида.

Так, квадрат может быть и геометрической фигурой (прямо­угольником с равными сторонами), и второй степенью числа или алгебраического выражения. Например, плоскость R2 = RxR декартово произведение двух прямых, а сам квадрат (фигура) это квадрат (декартов) двух отрезков: [0, а] х [0, а].

Аналогично, под моделью можно понимать и алгебраическую систему, в которой определены только отношения, а множество операций пусто, и некоторую интерпретацию формального языка и аналог предмета или явления, сохраняющего его существенные черты. Часто используются физические, экономические, матема­тические и другие модели.

Различные науки изучают одни и те же предметы и явления в зависимости от собственных интересов. Они как окна, через кото­рые люди смотрят на объект изучения. Так, математика будет изу­чать количество кусочков мела, их форму, установит их размеры, площадь поверхности, объем. Физика будет изучать, с какой ско­ростью мел упадет на пол, как при этом он деформируется, ка­кие силы действуют на мел при его скольжении по поверхности доски и т.д. Химия заинтересуется строением мела как вещества, его способностью изменяться при воздействии высокой темпе­ратуры и т.д. Иначе говоря, любой предмет обладает различными признаками, но для каждой конкретной науки одни признаки будут существенными, а другие несущественными.

Признаки предмета это те особенности, которые присущи данному пред­мету и отличают его от других.

Предметы составляют объективную реальность, существующую независимо от сознания человека.

Человек каждому предмету поставил в соответствие слово, термин, понятие, отличающее этот предмет от других. Причем реальные предметы и предметы мысли принадлежат к разным областям действительности: Реальные пред­меты принадлежат к объективному миру, а предметы мысли к субъективному миру человека.

Понятие - форма мышления, отражающая предме­ты в их существенных общих признаках.

Каждый из признаков необходим для описания некоторого понятия, а все вместе они достаточны для того, чтобы с их помощью отличить данное поня­тие от других из общего множества однородных объектов.

Под признаком обычно понимают свойства и отношения ре­альных вещей, выраженные в этом понятии. Отношение между понятиями называют предикатами  (об этом речь будет вестись в последующих темах).

Логические приемы формирования понятий.

Для формирова­ния понятий используются такие мысленные логические приемы как:

Анализ - мысленное расчленение объектов (явлений, процес­сов) на их составные части, выделение в них признаков.

Синтез - соединение частей или признаков в единое целое.

Сравнение - установление сходства или различия объектов по существенным или несущественным признакам.

Абстрагирование - выделение одних признаков и отвлечение от других (чаще всего выделение существенных и отказ от несу­щественных признаков).

Обобщение - объединение однородных объектов в класс.

Например, теория множеств с высокой степенью абстракции оперирует различными знаками символами, которые представ­ляют некоторые объекты, но зачастую никак с ними не связаны по смыслу.

Сравнивая между собой естественный и математиче­ский языки, анализируются их характерные черты. Доле идет обобщение их в единый класс, называемый  теорией знаков и знаковых систем, что соответствует науке семиоти­ка.

В семиотике синтезируются три вида отношений: синтаксиче­ские, семантические и прагматические, с некоторыми из кото­рых мы будем в дальнейшем встречаться.

Синтаксические отношения, это отношения между знаками, которые зафиксированы в правилах и способах образования язы­ковых выражений.

Семантические отношения характеризуют смысл языковых выражений: они могут быть либо истинными, либо ложными. Семантические правила определяют способы придания значений выражениям языка.

Логические характеристики понятий.

Любое понятие имеет ло­гическую структуру, включающую в себя объем и содержание основные логические характеристики понятия.

Содержание понятия характеризует совокупность существенных признаков (свойств) предмета, отраженных в понятии. Например:

1. Содержа­ние понятия молекула составляет ее основной отличительный признак быть мельчайшей частицей вещества, отражающей его физические и химические свойства.

2. Содержание понятия квадрат составляют его отличительные признаки: быть прямоугольником и иметь равные стороны, либо быть ромбом и иметь прямые углы.

Объем понятия есть множество всех предметов, которые мыс­лятся в данном понятии. Например:

1. Объем понятия столицы государств определяется перечислением всех столиц: Москва, Париж, Лон­дон, Пекин и т.д.

2. Объем понятия стороны горизонта составля­ют восток, запад, север и юг.

Для краткой лаконичной записи взаимоотношений, взаимо­связей между различными понятиями используется  язык теории множеств и теории графов.

Если объем одного понятия входит в объем другого то первое из них считается родовым понятием, второе – видовым.

Закон обратного отношения между объемом и содержанием поня­тий.

Взаимосвязь между логическими характеристиками понятия, его объемом и содержанием, выражает закон обратного отноше­ния: Чем шире объем понятия, тем уже его содержание, и, наоборот, нем шире содержание, тем уже объем.

Указанный закон обратного отноше­ния, очевидно, соответствует следующему утверждению: Чем меньше информации о предмете, заключенном в понятии, тем шире класс предметов, соответствующих это­му понятию.

Например,

1. .Понятие игры более широкое, чем понятие компьютерные игры (К). Поэтому объем понятия игры шире, чем объем понятия компьютерные игры

2. Свидетель ДТП видел, что автомобиль, сбивший пешехода и скрывшийся с места преступления, был девяткой цвета мокрый асфальт. А другой свидетель запомнил две первые цифры номера. Дополнитель­ная информация (содержание значительно сузила круг возможных автомобилей, причастных к ДТП (объем уже). На рисунке показано: А - множество автомо­билей, В множество девяток цвета мок­рый асфальт (это пересечение множества всех девяток и множества машин цвета мокрый асфальт), С множество автомобилей с по­добными первыми цифрами.

Операции обобщение и ограничение понятий

Ограничение -  логическая операция, связанная с переходом от рассмотрения изуча­емого множества к рассмотрению его подмножества.

Все множество имеет больший объем, чем его подмножество, и, следовательно, его характеризует мало признаков (рассужде­ния вообще). Для его подмножества ограничивается объем, а зна­чит, согласно закону обратного отношения между объемом и со­держанием увеличивается количество признаков (рассуждений, связанных с изучением точных наук).

Обобщением логическая операция, связанная с переходом от рассмотрения  подмножества  заданного множества к рассмотрению самого заданного множества

Обобщением - логическая операция, обратная  операции ограничения.

Обобщение осуществляет пере­ход от рассмотрения данного множества к рассмотрению более широкого множества, содержащего данное. Эти взаимно-обратные переходы хорошо иллюстрируются руга­ми Эйлера. При этом все множество является родовым понятием, а его подмножество – видовым.

Операции ограничения и обобщения  и их взаимосвязь хорошо иллюстрируется концентрическими кругами. Ограничение – переход их внешнего круга во внутрь, обобщения – переход из внутреннего круга к внешнему кругу.

Примеры операций  ограничения – обобщения

1. Наука – математика геометрия – планиметрия

2. Многоугольник четырехугольник параллелограмм – прямоугольник – ромб – квадрат

3. Страна – край – область – район – улица – дом = квартира.

Операция ограничения соответствует переходу от родового понятия ви­довому, сопровождается добавлением  отдель­ных существенных признаков понятия. Происходит от общего понятия к единичному понятию

Операция обобщения соответствует переходу от ви­дового к родовому понятию, сопровождается отказом от отдель­ных существенных признаков понятия. Происходит переход от  единичного понятия к общему.

В первом примере, рассмотренном выше,  общее понятие – наука (все множество различных наук), то одно из ее подмно­жеств математика. В свою очередь математика разделяется на отдельные предметные области, одной из которых является гео­метрия наука, изучающая пространственные фигуры и отно­шения между ними. Та часть геометрии, которая изучает фигуры и их отношения на плоскости, называется планиметрией.

Итак, ограничить добавить признаки а, Ь, с, d, обоб­щить отбросить признаки.

В первом примере общим будет понятие наука, еди­ничным планиметрия.

Значение логических операций обобщения и ограничения по­нятий состоит в своеобразном способе закрепления полученных знаний, способе, важном для правильного мышления любого человека.

Отношения между понятиями

Понятия, как и предметы или идеи, им соответствующие, на­ходятся в определенных отношениях, взаимосвязях друг с другом.

Понятия называются сравнимыми, если содержания этих понятий имеют общие признаки. Так понятия телевидение и радио понятия сравнимые, так как имеют общий признак они являются сред­ствами массовой информации. Компьютер и снегопад далекие, несравнимые понятия.

Виды отношений между понятиями по объему удобно предста­вить в виде графа, а взаимосвязи между его частями иллюст­рировать с помощью кругов Эйлера.

Одной из наиболее характерных особенностей современной математики является ее высокая степень абстрагирования. Поня­тие объединяет множество объектов, обладающих определенны­ми свойствами. Абстракция – мыслительная операция, абстрагирование – процесс.

Некоторая абстрактная теория выводит следствия из этих свойств, которые впоследствии можно будет применить к любому объекту этого множества. Абстрагирование достигается за счет выполнения логической операции обобщения. Благодаря обобще­нию мы переносим свойства одного объекта на свойство другого, с ним родственного.

Задание 3-1. Рассмотреть  связь  между частными и общими понятиями  согласно процессу абстрагирования

1. Теорема Пифагора.

Решение. Установив, что  в некотором прямоугольном треугольнике со сторонами длиной 3, 4 и 5, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, обобщаем этот вывод можно распространить на  прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональны­ми числам вида (3k)2+ (4k)2 =(5k)2(- египетский треугольник, а затем доказывается справедливость полученного вывода для произвольного   прямоугольного треугольника, т.е. а2 + b2 = с2. Далее идет распространение общего на все остальные прямоугольные треугольники с конкретными длинами сторон.

2. Сумма углов треугольника равна 180 градусам.

3. Любой признак параллелограмма.

4. Решение квадратных уравнений.

На рисунке изображена зависимость между множеством-1 и множествами 2,3,4, которая указана стрелками, из которой следует, что:

1. Для множество-1 операция обобщения дает возможность перейти к множеству-2 (предку, надмно­жеству).

2. Для множество-1 операция ограничения дает возможность перейти к множеству-3, как к частному случаю (потомку, подмножеству).

3. Для множества-1 множеств-3 и множество-4 являются одноуровневыми понятиями (аналогичными понятиями, братьями)

Задание 3-2. Для данных понятий указать обобщение, ограничения, сходные понятия.

1. Параллелограмм.

Решение. Для понятия параллелограмм аналогичными (облада­ющими сходными свойствами) будет понятие параллелепипед и в меньшей степени прямая призма.

Обобщением понятия параллелограмм является многоуголь­ник. Ограничением  его являются все  виды параллелограммов, например, ромб или прямоугольник.

2. Функция.

Комментарии. Обобщение – соответствие. Ограничение любая функция, например, линейная функция. Родственным является отображение.

3. Человек

4. Компьютер

5. Алгоритм.

6. Сумма натуральных чисел

Логические операции обобщение и  ограничение совместно с такой операцией как анало­гия, сравнение, индукция являются необходимым мыслительным инструментарием специалиста в любой области  знаний.

Задание 3-3. Приведите  графическую интерпретацию отношений между понятиями:

Понятия делятся на:

~    Сравнимые  понятия – содержание понятий имеют общие признаки (квадрат и ромб)

~    Несравнимые  понятия – содержание понятий не имеют общих признаков (квадрат и сфера).

Сравнимые понятия  делятся на:

~    Совместимые  - пересечение понятий не пустое множество

~    Несовместимые  пересечение понятий пустое множество

Совместимые понятия делятся на:

~    Равнозначные, тождественные, эквивалентные – понятия совпадают (упорядоченные множества и перестановки)

~    Пересекающиеся  - понятия совпадают не полностью (дискретная математика и логика)

~    Подчиненные  - одно понятие полностью включается в другое понятие (математика и дискретная математика)

Несовместимые понятия делятся на:

~     Соподчиненные – несколько понятий принадлежат  общему для них понятию, но между собой не пересекаются  (Натуральные числа состоят из однозначных, двухзначных, трехзначных  … чисел)

~     Противоположные по смыслу

3. Определение понятий

Язык, на котором мы говорим, многозначен. У большинства слов в нем есть несколько возможных значений. В повседневной речи мы понимаем из контекста, какой смысл придавался тому или иному понятию. Но для строгих математических выводов надо определить понятие, дать точное определение значения терминов, используемых в науке, через набор базисных, неопределяемых, но всем понятных (очевидных) или ранее определенных слов.

В первую очередь, определения нужно дать вновь вводимым понятиям, содержание которых ранее было неизвестно. С помо­щью определений фиксируется смысл научного термина. Так, на­пример, ранее  введены операции над множествами.

Во-вторых, определения необходимы для тех понятий, кото­рые употребляются в новом значении.

В-третьих, точное определение понятий имеет большое значе­ние в науке вообще, а в математике в особенности, так как точность формулировок приучает к конкретности и однозначно­сти мыслей. Точные формулировки облегчают и упрощают про­цесс доказательств не только в математике.

Возможны различные виды определения понятий. Для того что­бы понимать смысл терминов, важно знать способы их определе­ния. Хотя в логике нет однозначной характеристики различных видов определений, мы представим наиболее существенные из них в виде графа.

Понятие определение произошло от слова делить, а именно устанавливать предел, некоторую границу. Для этого нужно указать родовое понятие все необходимые при­знаки этого понятия, а затем ограничить видовыми,  достаточ­ными для вычленения этого понятия из других, принадлежащих этому роду.

Определение понятия это логическая операция, с по­мощью которой раскрывается его содержание.

В отдельных случаях для раскрытия многозначности понятий используют контекстуальные определения. Обычно для этого бе­рут отрывок текста такой длины, в котором встретилось исследу­емое понятие и из которого ясно о чем идет речь.

Существуют индуктивные и аксиоматические определения понятий.

Индуктивные определения обязательно содержат ба­зисные пункты, определяющие объекты, которые именуют оп­ределяемым термином, и индуктивные пункты, которые задают правила образования новых объектов, также именуемых этим тер­мином.

Самый распространенный способ определения понятий клас­сический через ближайший род и видовые отличия. Род указывает на тот круг предметов и понятий, из числа которых надо выделить определяемое понятие. Видовыми отличиями называются признаки, существенные для данного понятия.

Введем обозначения:

А – определяемое понятие.

В – родовые признаки, родовое понятие для понятия.

С – видовые признаки, видовое отличие

Если считать А, В, С множествами, то  В Ì А

Задание 3-3. Указать для данных определений  определяемое понятие, родовое понятие, видовое отличие.

1. Квадратом называется прямоугольник с равными сто­ронами.

Решение. А – квадрат,  В прямоугольник, С – равные  сто­роны.

2. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки этой плоскости.

3. Информатикой называется наука, изучающая техно­логию сбора, хранения и переработки информации.

4. Пропорция – равенство двух отношений.

Требования к определению понятий

Требование 1. Определение должно быть соразмерным, а именно объем определяемого понятия равен объему определяющих понятий

Примеры.

1. Генетическое определение. Алгоритмом называется точное формальное предписание, од­нозначно определяющее содержание и последовательность опера­ций, переводящих заданную совокупность исходных данных в ис­комый результат.

2. Классическое опре­деление. Арифметикой называется раздел математики, изучающий числа и простейшие действия над ними.  В (род) - раздел математики. С (видовое отличие) изучающий числа и простейшие действия над ними.

4. Генетическое определение. Базисом называется множество элементов, порожда­ющих все математические объекты заданного вида с помощью определенных операций.

5. Номинальное определение (введение термина). Дутой графа называется упорядоченная пара связанных вершин графа.

6. Генетическое определение. Дифференцирование математическая операция нахождения производной или дифференциала данной функции.

7. Классическое определение. Бит - это единица количества информации, числен­но равная количеству информации в испытании с двумя равнове­роятными взаимно-исключающими исходами.

Ошибочные определения:

а). Широкое определение

  1. Окружностью называется фигура, образованная движущимся концом циркуля.
  2. Ромбом называется четырех­угольник, у которого все стороны равны. Четырехугольник широкое, от­даленное понятие, не ближайший род.

3. Известен исторический пример такой ошибки. Однажды древнегре­ческий философ Платон дал определение понятию человек: Чело­век это двуногое животное без перьев. Другой древнегреческий фило­соф Диоген принес на лекцию ощипанного петуха со словами: Вот че­ловек Платона. Признав свою ошибку, Платон уточнил: Человек это двуногое животное без перьев и с широкими ногтями.

б). узкое определение.

  1. Вершина самая высокая часть холма.  Вер­шина есть у многоугольника, графа, горы…
  2. Совесть это осознание человеком ответственности перед самим собой за свои действия и поступки. Есть еще ответствен­ность перед обществом, близкими.

Ошибочные определения определение в одном смысле широкое, в другом узкое.

1. Ящик тара для хранения овощей. Овощи хранят не только в ящиках. Поэто­му это определение узкое. В ящиках хранят не только овощи, но и стройматериалы, почту и т.д. Значит, данное определение одно­временно и широкое.

Требование 2. Определение не должно заключать в себе круга.

Определяемое и определяющее понятия не должны отражать одно и то же.  Определение должно быть логически корректным. Нельзя изоб­ретать изобретение, играть в игру, итожить итоги.

Ошибочными являются определения:

  1. Параллельными называют­ся прямые, расположенные параллельно
  2. Смешное это то, что вызывает смех,
  3. Символика совокупность применяемых в математике символов и правил их употребления.

Тавтологией, кругом может служить фраза, заменяющая определяемое понятие, но не вносящая новых сведений о нем.

Классический пример такой ошибки в пьесе Мольера Мнимый больной, где один из героев объяснял усыпляющее действие опиума: Опиум имеет усыпляющую силу, так как он усыпляет, а усыпляет он потому, что имеет усыпляющую силу.

Требование 3. Определение положительного понятия не должно со­держать отрицания.

Ошибочные определения

1.Окружностью называется фигура, не имеющая углов.

2.Сравнение не доказательство.

Отрицание не может указать существенные признаки опреде­ляемого понятия, а лишь исключает несущественные.

Однако в отдельных случаях определение через отрицание допу­стимо, поскольку определяются отрицательные понятия через не­зависимо определенные положительные понятия.

Примеры  верных определений с отрицаниями

1.  Иррациональными числами называются числа, не соизмери­мые ни с единицей, ни с ее частями.

2.  Бездарным является человек, не обладающий способностями.

3.  Аморальными называются поступки, не соответствующие мо­ральным нормам общества.

4.  Нелогичными называются поступки, не соответствующие нор­мам логики мышления и поведения представителей данного со­общества.

Требование  4. Определение должно быть четким и ясным, без дву­смысленностей.

Неправильное определение. Природа это наука, способствующая пониманию вопро­сов, относящихся к духовной истине.

Требование 5. Определение неизвестного понятия должно произво­диться через известные понятия.

Неправильное определение. Дивергент разновидность аллофона.

Требование 6. В науке недопустима подмена определения метафора­ми и сравнениями.

Неправильные определения

  1. Лень мать всех пороков.
  2. Такт это разум сердца
  3. Неблагодарность род слабости.
  4. Повторение мать учения.

Эти поговорки не являют­ся определениями или аксиомами, но могут являться теоремами, устанавливающими неочевидную эквивалентность понятий. Подобные утверждения называются предикатами, о которых будет сказано в последующих главах

Деление понятий. Классификация

Делением понятия называется логическая операция, раскры­вающая его объем.

К делению понятия прибегают тогда, когда необходимо:

1.  Раскрыть весь объем понятия, т.е. выявить все компоненты, составляющие это понятие (так, рассматривая множества, мы делили их на виды в зависимости от мощности);

2.  Указать все формы проявления и развития понятия, а не только сущность самого явления или предмета, составляющего понятие;

3.  Уточнить сферу применения понятия (так, отношения между понятиями различаются по сфере их применения в зависимости от взаимосвязей между отдельными составляющими).

К делению прибегают, когда понятие многозначно и требуется уточнить его отдельные значения. Ранее мы уточняли новое поня­тие определение понятий, разделив его на виды.

При делении необходимо выявить делимое понятие, основа­ние деления, члены деления.

1. Делении понятий по видовому признаку При делении по видовому признаку объем делимого (родового) понятия А раскрывается через перечисление всех его видов по выбранному признаку основанию деления. В основе деления лежит изменение этого признака. Члены деле­ния подмножества, соподчиненные группы (виды).   А дели­мое (родовое) понятие все множество.

2. Дихотомическом деление понятий. Объем делимого понятия А делится на два противоречи­вых В1 и В2. В основе лежит наличие или отсутствие при­знака, характеристического для В1 или В2. Таким образом, дихото­мия также является делением по видовому признаку при п = 2.

Графически схема деления понятия может быть представлена или кругами Эйлера, или в виде графа-дерева. Основанием (кор­нем) такого дерева является само понятие А, Ветви дерева чле­ны деления.

Принцип дихотомического деления широко применяется в мо­делировании и конструировании ЭВМ, так как электронно-вы­числительные машины понимают язык алгебры логики (буле­вой алгебры), построенный на основе дихотомического деления классов.

С помощью дихотомического деления можно описать множе­ство процессов реальной жизни:

Принадлежит не принадлежит.

Существует не существует.

Моральный аморальный.

Нравствен­ный – безнравственный.

Рациональный иррациональный

Ошибки при делении могут возникнуть по многим причинам, например, таким, как:

  1. Неполное деление
  2. Деление с лишними членами (в основе разные признаки деления)
  3. При деле­нии одно­го понятия одновре­менно в ос­нову ло­жатся не­сколько признаков

Классификация.

Частным случаем деления понятий является классификация. Она как разновидность операции деления пред­ставляет собой последовательное деление элементов множества на подмножества, в которых все элементы обладают своей уни­кальной особенностью, т.е. относительно устойчивыми характе­ристиками. Схема дихотомической классификации имеет вид би­нарного дерева. Например, в информатике осуществляется классификация команд алгоритмического языка.

Умение человека обобщать, ограничивать и классифицировать понятия характеризует системное мышление.

Классификацией называется операция распределения объектов по определенному существенному признаку, в результате чего каждый из них попадает в точно указанный класс, подмножество или группу.

Классификация бывает естественная, искусственная, рабочая, научная.

1. Научная классификация.

В науке принято классифицировать объекты, начиная от общего понятия всего множества, и рассматривая его подмно­жества согласно иерархии.

Примеры научных классифика­ций:

~    Периодическая система элементов, предложенная Д. И. Мен­делеевым,

~    Классификация животных и растений

Научная классификация имеет как теорети­ческое, так и практическое значение. Она не только сохраняет знания, на­копленную информацию об окружающем мире, но и дополняет ее новыми, ранее неизвестными элементами. Например, согласно старой классификации элементарных частиц в настоящее время известно свыше 200 частиц. Это не могло удовлетворить физиков и привело к переопределению понятия элементарная частица, поиску новых теорий, уменьшающих их число, открытию квар­ков и глюонов.

С помощью научной классификации упорядочивается огром­ный, накопленный, быть может, многими поколениями исследо­вателей, научный материал, который систематизируется и рас­пределяется по устойчивым множествам (классам, родам, видам).

Другим важным достоинством является возможность выявить существенные отличия между отдельными подмножествами (в рамках известного сходства общего свойства выявить характерные различия). Это не только помогает различать отдельные подмно­жества и видеть их специфические особенности, но и открывает новые возможности для познания объективных закономерностей.

2. Искусственная классификация

Примерами искусственной классификации являются каталоги книг, список вашей группы по алфавиту в журнале, список теле­фонных номеров.

В дискретной математике рассматриваются  различные способы систематизации учебного материала. Они помогут увидеть весь вопрос в целом и во взаимосвязи этого во­проса с его частями и научиться сжимать информацию об изуча­емом вопросе, кратко ее излагать.

Существуют различные приемы сжатия учебного материала: блок-схемы, графы, деревья, а также таблицы или матрицы. Каж­дый элемент матрицы клетка содержит информацию, соответствующую пересечению строки и столбца. Поэтому важно тща­тельно продумать направляющие элементы строк и столбцов.

Важно знать различные определения одного понятия, выяв­лять тождественные понятия.

При употреблении противоположных или противоречивых по­нятий необходимо учитывать различие между ними. Это особенно актуально в математической логике при построении доказательств, например, методом от противного, при решении большого круга задач, содержащих отрицание. Так, для понятия не менее про­тиворечивым будет менее, а противоположным не более. Но понятия не более и менее не тождественны между собой: они имеют разный объем.

Операции над понятиями имеют особое значение для тех, кто связал свою профессиональную деятельность с компьютером в различных сферах его применения. При составлении программ, особенно в тех случаях, когда прибегают к методу перебора, зача­стую необходимо увидеть реальный объем некоторого понятия. В таких случаях нужно произвести операцию деления понятия.

Задание 3-4. Изобразите кругами и графами соотношения между понятиями:

а)  время, час, минута, секунда;

б)  программный язык, Pascal, Basic;

в)  бит, байт, килобайт;

г)  системный блок, материнская плата, процессор;

д)  игра, спортивная игра, футбол;

е)  граф, плоский граф, дерево.

Задание 3-5. Определите, правильно ли проведено обобщение поня­тий. Если допущена ошибка исправьте (изобразите их кругами Эйлера):

а)  группа, факультет, колледж, учебное заведение;

б)  системный блок, материнская плата, процессор;

в)  DOS, командная строка, команда, символ;

г)  правильная дробь, десятичная дробь, дробь;

д)  алгоритм, определение входных и выходных данных, мате­матическая модель;

е)  множество, конечное множество, пустое множество.

Задание 3-6. Классифицировать задания по операциям обобщения или ограниче­ния:

а) частичное решение общее решение;

б)  число, делящееся на 6, четное число;

в)  деление деление на 10;

г)  системный блок персональный компьютер;

д)  алгоритм решения постановка задачи;

е)  несчетные множества бесконечные множества?

Задание 3-7. Расположите понятия в порядке уменьшения объема (изоб­разите их кругами Эйлера):

а)  программный язык, процедуры, библиотеки, Pascal;

б) системный блок, микропроцессор, материнская плата, мик­росхемы;

в)  Тольятти, европейский город, город Самарской области, город России;

г)  байт, килобайт, бит, мегабайт, гигабайт;

д)  грамм, центнер, тонна, миллиграмм, килограмм;

е)  контейнер, упаковка, пачка.

Задание 3-8. Определите, правильно ли проведено обобщение поня­тий. Если допущена ошибка исправьте (изобразите их кругами Эйлера):

а)  группа, факультет, колледж, учебное заведение;

б)  системный блок, материнская плата, процессор;

в)  DOS, командная строка, команда, символ;

г)  правильная дробь, десятичная дробь, дробь;

д)  алгоритм, определение входных и выходных данных, мате­матическая модель;

е)  множество, конечное множество, пустое множество.

Задание 3-9. Определите, в каких из приведенных примеров произво­дится деление понятия, а в каких деление предмета:

а)  запись алгоритма бывает словесной и графической;

б)  граф состоит из ребер и вершин;

в)  графы делятся на ориентированные и неориентированные;

г)  дискеты бывают 3- или 5-дюймовые;

д)  CD-ROM бывают пишущими и не пишущими;

е)  система бывает: линейная, иерархическая, сотовая, коль­цеобразная.

Задание 3-10.  Определите, в каких из приведенных примеров произво­дится деление понятия, а в каких деление предмета:

а)  запись алгоритма бывает словесной и графической;

б)  граф состоит из ребер и вершин;

в)  графы делятся на ориентированные и неориентированные;

г)  дискеты бывают 3- или 5-дюймовые;

д)  CD-ROM бывают пишущие и не пишущие;

е)  система бывает: линейная, иерархическая, сотовая, коль­цеобразная.

Требования к знаниям умениям и навыкам.   Студенты должны  уметь строить определения понятий. Знать требования к определению понятий. Уметь  разбивать множество на классы по заданным признакам.