Тема 7.  Индуктивные умозаключения.

План:

1. Умозаключение – как форма мышления

2. Понятие и виды индукции

3. Метод математической индукции

4. Статистическое обобщение

5. Примеры не индуктивных умозаключений

Цель. Формирование представлений об умозаключении как о логической операции. Знакомство с понятием индукция, видами индуктивных умозаключений. Обучение ведению доказательств методом математической индукции. Решение задач, связанных с ложными доказательствами – софизмами.

Теоретические сведения

1. Умозаключение – как форма мышления.

Предметы, явления действительности находятся во взаимо­действии. Отображением предметов в наших мыслях служат по­нятия об этих предметах и суждения, которые формируются с помощью понятий. Поэтому суждения о понятиях, как и их об­разы в реальном мире, тоже находятся во взаимодействии. Взяв за основу истинные исходные суждения (посылки), мы делаем выводы (умозаключения) о тех понятиях, которые фигурирова­ли в суждениях. Связь между ними наглядно можно представить в виде схемы

Реальный мир	Язык	Мышление
Предметы                            ®	Слова                                              ®	Понятия
Знания о предметах            ®	Предложения                                 ®	Суждения
Взаимосвязи  предметов    ®	Связи между предложениями      ®	Умозаключения

Существует соответствие между объектами действительности, их образами в языке и в мышлении.

Но не всякое сочетание суждений дает умозаключение. Для того чтобы из одного или нескольких исходных суждений (посылок) получились умозаключения, надо знать правила и законы, по ко­торым они образуются.

1.1 Правила образования умозаключений:

1. Исходные суждения были истинными.

2. Формирование умозаключений можно проводить только по строго определенным законам, которые необходимо изучить.

2. Нарушение правил  формирования умозаключений ведет к ложным умозаключениям.

Умозаключение - это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений на основании правил выво­дится новое суждение. В состав умозаключения входят посылки, вывод и заключение.

Посылки - это исходные суждения.                                          -

Заключение- есть новое суждение, полученное из посылки логическим путем.

Вывод - логический переход от посылки к умозаключению.

1.2. Виды умозаключений.

1. По направлениям логического следования умозаключения де­лятся на:

~     дедуктивные - от общих суждений к частным,

~     индук­тивные – от частных суждений к общим,

~     аналогии - от част­ных суждений к частным.

2. По степени достоверности умозаключения бывают:

~     достовер­ными (истинными, демонстративными)

~     вероятностными (прав­доподобными, недемонстративными).

Умозаключения являются логическими моделями рассуждений.

В зависимости от характера умозаключений выводы при истинных посылках и заключениях могут получаться как

~     достоверные, кото­рые обязательно будут иметь место,

~     вероятностные, кото­рые могут произойти с определенной долей вероятности.

Дедуктивные умозаключения также можно классифицировать в зависимости от количества истинных посылок:

~     непосредственные – (посылка – заключение)

~     опосредованные – (например, большая посылка – малая посылка – заключение)

Рассмотрим  дедуктивное опосредованное умозаключение.

Имеем суждения:  “Всякий порок заслуживает наказания” – Большая (первая) посылка

“Курение – порок”- Малая (вторая) посылка

” Курение заслуживает наказания” – Заключение:

Для того чтобы заключения были истинными, необходимо знать способы их получения, т.е. логическую связь между посылками и заключением. Незнание законов логики ведет к ложным заключе­ниям.

Например:

Посылки:       Все программисты изучали дискретную математику

Все программисты учились

Заключение: Все кто учились, изучали дискретную математику

Правильное заключение: “Некоторые, кто имеет выс­шее образование, изучали математическую логику”.

Правильные дедуктивные умозаключения образуются через отношение логического следования между посылкой и заключе­нием.

Истинные посылки, если соблюдены все необходимые пра­вила выводов (т.е. импликация истинна), всегда приводят к ис­тинному заключению.

Дедуктивные умозаключения – самый строгий вид умозаключений, который при соблюдении всех правил всегда дает достоверный результат.

Дедуктивные рассуждения являются основным видом рассуждений, применяемых в математике. “Выс­шим долгом физиков является поиск таких элементарных зако­нов, из которых путем чистой дедукции можно получить карти­ну мира”, – писал Альберт Эйнштейн о физике, которая для доказательств законов природы использует математический язык.

1.3. Виды дедуктивных умозаключений.

1. Непосредственные умозаключения

Общепринятая классификация простых суждений:

~     A – Общеутвердительные:             Все S есть Р.

~     E – Общеотрицательные:               Ни один S не есть Р.

~     J – Частно утвердительные:           Некоторые S есть Р.

~     O – Частно отрицательные:                       Некоторые S не есть Р.

Суждение характеризуют две стороны: его форма и его истин­ность.

Используя свойства отношений между простыми суждениями А, Е, J, О мож­но делать дедуктивные выводы, определяя истинность или лож­ность заключений по истинности или ложности посылки.

Преоб­разование простых суждений имеет большое значение в процессе мышления, но не может осуществляться произвольно. Зная пра­вила выводов для непосредственных умозаключений, мы сможем избежать логических ошибок.

Умение определять истинность суждений является важной и необходимой частью мышления человека. Но иногда суждения принимают такой вид, что трудно определить их истинность. Тог­да на помощь приходят знания об отношениях между суждениями и умение выполнять логические операции обращения, превраще­ния и противопоставления предикату. Из одной посылки с помо­щью определенных правил можно получить новое суждение – заключение. При этом за основу берутся виды суждений по коли­честву и качеству, описанные с помощью логического квадрата.

Умения правильно выполнить непосредственные умозаключе­ния, необходимы для получения истинных заключений в различ­ных мысленных построениях, в процессе аргументации, при ис­пользовании некоторых приемов косвенных доказательств и оп­ровержений.

Рассмотрим  дедуктивные умозаключений, приводящие к истинным выводам

Правило заключения.

AÞB – общая посылка.  (“aÎA)ÞB – Частная посылка.

Примеры.

1. Сумма углов у треугольника равна 180° – общая посылка. Если некоторая (конкретная) фигура есть треугольник, то в ней обязательно сумма углов равна 180° – частная посылка..

2. Если натуральное число делится только на 1 и сами на себя, то оно  простое число.  Число 19 – натуральное и делится только на 1 и 19, значит число 19 простое число.

2. Правило отрицания.

– Общая посылка. – Частная посылка.

Примеры.

1. У не треугольника сумма углов не равна 180°- общая посылка. Если у некоторой (конкретной) фигуры сумма углов не равна 180°, то эта фигура не треугольник.

2. Числа, не оканчивающиеся 0, не делятся на 10. Число 234 не делится на 10, значит оно не оканчивается 0.

2. Простые категорические силлогизмы

Один из видов опосредованных дедуктивных умозаключений, в котором из двух категорических суждений выводится третье ка­тегорическое суждение (термины которого связаны определенным отношением с термином, общим для обеих посылок). называется простым категорическим силлогизмом

В состав категорического силлогизма входят:

- большая посылка (БП),    - меньшая посылка (МП),  -  заключение.

Общая формула категорические силлогизмы име­ет вид:

Все М суть Р             – (большая посылка) Где: Р - предикат вывода, больший термин

Все S суть М              – (меньшая посылка) S - субъект вывода, меньший термин

Все S суть Р                          – (заключение)                                  M- средний термин, посредник

Пример:

(Все люди  - земляне,  Программисты  -  люди) ® Все программисты – земляне.

P – Земляне – больший термин.  M – Люди – средний термин.  S – Программисты – меньший термин

На рисунке показана схема состава категорического силлогизма

Существует еще несколько видов силлогизмов. Это:

1. Разделительные силлогизмы содержат хотя бы в одной из посы­лок разделительное суждение, выраженное через строгую дизъ­юнкцию, и дают достоверный вывод

2. Условные силлогизмы содержат условные суждения в посылках или заключении (операция следования): р - > q, где р – основа­ние, q - следствие, и дают достоверный вывод

Кроме перечисленных, существуют и другие виды сложных силлогизмов.

Схема проверки включает в себя следующие этапы.

1.  Проверка справедливости заключения в результате сравне­ния его с соответствующим правилом.

2.  Проверка справедливости заключения с помощью составле­ния таблиц истинности на основании того, что между посылками и выводом дедуктивного умозаключения существуют отношения

1.4. Проверка правильности умозаключений.

Известно, что с по­мощью понятия равносильности алгебры логики можно проверять пра­вильность умозаключений. Так, если из истинных посылок полу­чается ложное заключение, то умозаключение и процесс его вывода будут ложными, неправильными. Рассмотрим две похо­жие задачи.

Задание 7-1.

1. Доказать. Если некоторое число делится на 6 и на 15., то  это число делится на 10.

Решение. Если это число делится на 15, то оно делится на 5. Если число делится на 6, то оно делится на 2. Если же это число делится и на 2, и на 5, то оно делится и на 10.

2. Доказать. Если некоторое число делится на 6 или  на 15., то  это число делится на 10.

Можно ли при доказательстве использовать рассуждении предыдущего задания?

3. Правильно ли выполнено умозаключение?

Известно, что после школы Иванов  бу­дет поступать или на юридический, или на экономический фа­культет колледжа. Если он  закончит юридический факультет, то  станет юристом. Если закончит экономический факуль­тет, он станет экономистом. А если Саша планирует стать и бухгал­тером, и юристом, то он сможет работать бухгалтером- юристом.

Ответ. Будущее Иванова не определено.

4. Правильно ли сделан вывод в умозаключении:

Все студенты факультета программирования добросовестны в учебе или талантливы. Если они добросовестны, то систематически готовятся к занятиям. Поэтому, если студенты-программисты не будут готовиться к занятиям, то они должны быть талантливы.

Ответ Верно

1.5. Методы научного познания

Идея вдохновляет, опыт исполняет, метод царствует.

На протяжении более чем двух тысячелетий во всем мире образцом построения науки была математика. В ее основе лежит аксиоматический метод, опирающийся на строгие логические дедуктивные рассуждения.

Для выводов в науке используют:

1. Неопределяемые понятия, с помощью которых дают определения всем остальным математическим понятиям;

2. Аксиомы - утверждения, принимаемые без доказательства, игра­ющие роль фундамента, на котором строится здание науки;

3. Теоремы - утверждения, истинность которых необходимо доказать с помощью аксиом и ранее доказанных теорем, образующие строитель­ный материал для построения здания науки.

В зависимости от избранной системы аксиом и неопределяемых по­нятий выстраивается и сама наука. Так, в настоящее время в геометрии как в учебном предмете в качестве неопределяемых выбраны понятия “точка”, “прямая”, “плоскость”, а также отношения между ними – “принадлежность”, “лежать между” и т.д.

Знакомые из курса школьной геометрии аксиомы к нам попали в переработанном виде из самого из­вестного учебника геометрии – “Начала”, написанного Евклидом (III в. до н. э.) более двух тысяч лет назад.

Доказательства в геометрии носят строго дедуктивный характер и поэтому имеют достоверные выводы.

Аналогичная ситуация и в арифметике, где за основу принята систе­ма аксиом Пеано. Здесь в качестве неопределяемых понятий выступают число и множество, а в качестве отношений – “следовать за”. На основе этой системы аксиом в арифметике также можно доказывать различные теоремы, т.е. рассуждения строятся от общих к частным и носят дедук­тивный характер.

Однако аксиоматический метод используется не во всех науках, и ход рассуждений не всегда имеет дедуктивный характер. Есть много наук, где рассуждения идут от частных к общим и от частных к частным. С помощью аналогий и индуктивных выводов в науке устанавливаются гипотезы, ко­торые затем доказываются дедуктивными методами или опровергаются.

1.6. Роль аналогии в научном познании.

Велика роль аналогии (в пе­реводе с греческого – сходство) в научном познании.

Благо­даря аналогии люди получили возможность расширять свои зна­ния.

Умозаключение по аналогии - это вывод о принадлежности определенного признака исследуемому единичному объекту (пред­мету, событию, отношению или классу) на основании его сход­ства в существенных чертах с другими уже известными единич­ными объектами.

Выводы по аналогии имеют огромное значение в науке. Они являются источником многих открытий.

Известно, что такие разделы математики, как комбинаторика и теория ве­роятностей, возникли из анализа азартных игр. Но анализ азарт­ных игр и сейчас имеет принципиально важное значение в науке. Так, процесс тасования карт в ходе игры аналогичен с математи­ческой точки зрения технологии перемешивания в химии, а так­же сходен с некоторыми фундаментальными понятиями термо­динамики.

В дедуктивных рассуждениях заключение содержит те же предикат и субъект, что и посылки. Но само множество при этом остается тем же.

В индуктивных умозаклю­чениях мы на основании частных знаний о некотором множестве делаем вывод, обобщающий наши знания. Но само множество при этом остается тем же.

И лишь умозаключения по аналогии дают возможность людям делать открытия новых свойств неизученных объектов на основании их аналогии с ранее изученными, т.е. про­исходит переход от изученного множества объектов к новому, исследуемому. Так, обратив внимание на аналогию между прин­ципом действия нервной системы и цифровых вычислительных устройств, Норберт Винер начал свои исследования в области конструирования логических машин.

Процесс умозаключений по аналогии можно осуществить по­этапно:

I  этап – операция сравнения объектов с целью установления сходства и (или) различия;

II  этап – перенос свойств с оригинала (прототипа) на модель (образ).

Но не всегда аналогия столь легко и убедительно приводит к научным открытиям. Если в основе сравнения лежат не существен­ные признаки, а иные соображения, то выводы могут оказаться ложными.

Много­ гранник	Количество			Свойство В + Г~Р = 2
	В вершин	Р ребер	Г граней
Тетраэдр	4	6	4	4+4- 6=2
Октаэдр	6	12	8	6 + 8- 12 = 2
Куб	8	12	6	8 + 6- 12 = 2
Додекаэдр	20	30	12	20 + 12 –  30 = 2
Икосаэдр	12	30	20	12 + 20- 30 = 2

Так, пифагорейцы, а затем и Платон провели аналогию между пятью известными правильными выпуклыми многогранниками и строением Вселенной.

Их интуитивные представления заключались в том, что четы­ре стихии – огонь, вода, воздух и земля – состоят из каких- то различ­ных неделимых минимальных элементов – атомов, сохраняющих харак­терные особенности самой стихии.

По их гипотезе, атомы основных эле­ментов должны были иметь формы различных платановых тел:

~   атомы огня – форму тетраэдра (из-за острых углов),

~   земли – форму куба (ха­рактерный признак – устойчивость),

~   воздуха – форму октаэдра (самый воздушный),

~   воды – форму икосаэдра (самый текучий),

~    объединял  все – додекаэдр.

Очевидно, такая аналогия оказалась ложной.

Поэтому в естественных, экспериментальных, описательных науках наиболее успешно используются выводы индуктивного характера. Если утверждения, доказанные с применением дедук­тивного метода носят достоверный характер, то индуктивные вы­воды вероятностны по своей природе.

В математике также применяются индуктивные выводы. С их помощью, например, формулируются аксиомы как очевидные ут­верждения.

Итак, метод проверки всех элементов множества на соответ­ствие некоторому признаку называется полной индукцией (под­робнее см. далее) и дает достоверный вывод.

2.  Понятие и виды индукции.

Сначала собирать факты и только после этого связывать их мыслью.

Аристотель

Индукция (от лат. inductio - наведение) –  вид умозаключе­ний, при котором на основании анализа частных суждений о при­надлежности признака отдельным элементам множества делается вывод о принадлежности этого признака всему множеству.

Для проверки индуктивных умозаключений не­обходимо большое число частных случаев, примеров, опытов, подтверждающих данный вывод.

Для опровержения индуктив­ного умозаключения достаточно одного единственного контр при­мера, противоречащей инстанции.

Так, для подтверждения того, что все жвачные животные имеют рога, надо приводить в каче­стве примера все множество жвачных животных: коз, оленей, ко­ров и т.д. Но для опровержения достаточно в качестве единствен­ного примера использовать верблюда.

2.1. Виды индукций

Наблюдения в любой области знаний могут привести к опре­деленным индуктивным выводам. Ряд сходных, частных примеров выполнения некоторого свойства дает возможность сформулиро­вать гипотезу о том, что все элементы рассматриваемого множе­ства обладают этим свойством. Все это относится к индукции.

Чтобы доказать справедливость операции обобщения в каждом конкретном случае, необходимо иметь информацию о том, что действительно все элементы рассматриваемого множества обла­дают исследуемым свойством.

Индукции могут быть разных видов, но в любом случае идет перебор элементов либо всего множества, либо части его и на этом основании делается общий выво.

1. Полная индукция.

~     Перечисление элементов. – Известно число элементов рассматриваемого класса. Проводится проверка всех элементов этого класса на предмет обладания общим признаком (свойством). Например, о результате экзамена можно судить только после того, как все студены делали попытку его сдавать.

~     Математическая индукция. Признак (свойство) имеет место для n=1. Доказывается, что рассматриваемый признак (свойство)  справедливо для любого n.  Например, вывод формул, касающихся прогрессий.

2. Неполная индукция:

~        Научная. Рассматривается признак на некотором подмножестве элементов и полученное умозаключение распространяется на все элементы данного множества. Например, законы природы в естественных науках или в развитии общества.

~        Популярная. Рассматривается случайный признак на нескольких, случайно выбранных элементах. Полученное умозаключение распространяется на все элементы данного множества. Например, народные суеверия и приметы.

~        Выборка. Анализ и  отбор элементов определен  определенным  свойством (правилом), на которых проверяется существенное свойство (признак). Полученное умозаключение распространяется на все элементы данного множества. Например, обработка статистических данных методами математической статистики.

Когда множество состоит из конечного числа элементов, то можно осуществить практически или теоретически перебор всех элементов. Этого не возможно сделать в случае бесконечных множеств или если по некоторым причинам невозмож­но проверить, все ли элементы множества обладают этим свойством.

В таком случае справедливость гипотезы придется доказывать с помощью неполной индукции, но при этом получать не досто­верные, а вероятностные выводы.

В математике разработан спо­соб, позволяющий сделать достаточно точный правдоподобный вывод, не проверяя непосредственно все элементы исследуемого множества. Этот метод называется методом полной математи­ческой индукции или просто математи­ческой индукции. Сокращенно ММИ.

Как правило, индуктивные выводы осуществляются по следу­ющему алгоритму.

1. Сравнить различные элементы некоторого множества.

2. Подметить некоторое общее свойство, которым обладают элементы этого множества.

3.  Сформулировать гипотезу (свойство) для изученных элементов,

4.  Обобщить вывод на более широкий класс элементов, а затем на все множество.

Очень сложный вопрос: Как убедиться в том, что высказанная гипотеза –  не иллюзия и действитель­но имеет место?

В нашей личной жизни мы часто цепляемся за иллюзии, но в науке мы нуждаемся в совершенно ином подходе, в индуктивном подходе. Этот подход имеет целью приспособление наших пред­ставлений к нашему опыту в такой степени, в какой это возмож­но. Он требует говорить “быть может” и “возможно” с тысячей различных оттенков. Он требует многих других вещей, и особенно следующих трех принципов[1]:

1. Мы должны быть готовы пересмотреть любое из наших представлений.

2. Мы должны изменить представ­ления, имеются веские обстоятельства, вынуждающие его изме­нить.

3. Мы не должны изменять представления произ­вольно, без достаточных оснований.

Первый принцип требует “мужества ума”. Вам нужно муже­ство, чтобы пересмотреть ваши представления. Галилей, бросив­ший вызов предрассудку своих современников и авторитету Ари­стотеля, являет собой великий пример мужества ума.

Второй принцип требует “честности ума”. Оставаться верным моему предположению, ясно опровергнутому опытом, только потому, что это мое предположение, было бы нечестно.

Третий принцип требует “мудрой сдержанности”. Изменить представление без серьезного исследования, например, только ради моды, было бы глупо…

Смелость ума, честность ума и мудрая сдержанность –  мораль­ные достоинства ученого”.

Итак, индуктивный принцип, лежащий в основе не только деятельности ученых, но и обычных разумных людей, заключает­ся в том, что “…предположительное общее утверждение стано­вится более правдоподобным, если оно подтверждается для ново­го частного случая”.

2.2. Методы установки причинных связей.

Все явления природы и общества находятся в определенных при­чинных взаимосвязях. Знания о различных явлениях означают, что нам известны причины, породившие это явление, процесс его раз­вития и его последствия –  причины следующих явлений.

Метод единственного сходства (общего в различном).

Например:       Определение аллергена у больного аллергией.

Построение новых гипотез, версий

Метод единственного различия (различного в сходном)

Например:       Прохождение через магнитного контроля в аэропорту

Открытие катализаторов в химии.

Эффект удобрения в почве

Объединенный метод сходства и различия

Например:     В криминалистике, в математике.

Метод остатков

Например:      Открытие планеты Нептун по отклонению Урана[2].

Метод сопутствующих изменений

Например:      Любая физическая закономерность

Всеобщий характер причинно-следственных связей нашел под­тверждение в диалектическом единстве случайного и закономер­ного. В логике еще с XVI в., со времен Фрэнсиса Бэкона и Джона Стюарта Милля, разработаны специальные методы установления причины, породившей то или иное явление. Все методы установле­ния причинных связей носят индуктивный характер.

3. Метод математической индукции.

Метод полной индукции имеет весьма ограниченную область применения в математике, поскольку большинство рассматрива­емых множеств бесконечны: множество натуральных чисел, мно­жество простых чисел, множество многогранников и т.д. Прове­рить справедливость гипотезы напрямую при бесконечном мно­жестве исследуемых объектов невозможно.

В таких случаях применяется метод рассуждений, заменяющий полный перебор всех вариантов, который также дает достовер­ный вывод.

Этот метод носит название метода математической индукции (ММИ).

С помощью ММИ определяются сложение и умножение натуральных чисел, свойства этих операций, вводятся отношения “больше” и “меньше” и их свойства, доказываются делимость и формула для n-й степени бинома (бином Ньютона).

С помощью ММИ можно доказать одно из важнейших свойств натуральных чисел –  свойство полной упорядоченности (в лю­бом непустом подмножестве множества натуральных чисел есть наименьшее число).

Смысл ММИ заключается в следующем  алгоритме.

1. Утверждение проверяется для некоторого начального элемен­та, например для п = 1.

2. Формулируется гипотеза о том, что утверждение справедли­во для некоторого k Î N.

3. Доказывается (устанавливается) истинность утверждения, что если из того, что утверждение справедливо для произвольного k Î N следует, что оно справедливо и для “k: + 1 Î N, то оно справедливо для любого натурального числа: “n Î N.

Полученный вывод замечателен тем, что в нем речь идет об абстрактных множествах. Фактически слова “утверждение спра­ведливо” означают выполнение некоего свойства, а мы знаем, что задать характеристическое свойство все равно, что задать мно­жество.

Метод математической индукции чаще всего применяется к натуральным числам и счетным множествам для доказательства формул, неравенств, делимости натуральных чисел и комбина­торных формул.

Даже если в результате применения ММИ получается заведо­мая ложь или упрощение не получается вовсе, то сначала нужно попытаться опровергнуть гипотезу логическим путем. Например, можно привести один факт, разоблачающий ее. Если это не полу­чается, то нужно искать другие логически корректные методы до­казательства утверждения, поскольку из ложной или неопреде­ленной посылки может следовать все, что угодно.

Задание 7-2. Доказать, что “n Î N справедливо равенство: 1+4+7+.. +(Зn-2) =0,5 n (3n-1).

Решение.

1. Проверим равенство при п = 1. Имеем 1 = 1 –  значит, формула верна.

2. Гипотеза: пусть формула справедлива для п = k, а именно верно равенство:

1+4+7+…+(Зk-2) = 0,5 k (3k-1)

3. Доказываем, что формула верна для п = k + 1, а именно верно равенство:

1+4+7+…+(Зk-2) + (3(k+1)-2) =0,5 (k+1) (3(k+1)-1)

Комментарии. Подчеркнутая часть последнего равенства есть наше преполовение и по этому она равна 0,5 k (3k-1). Правая часть получена путем подстановки в первоначальную формулу n = k+1. Теперь надо доказать равенство левой и право части последнего равенства.

Преобразуем левую часть:

1+4+7+…+(Зk-2) + (3(k+1)-2= 0,5 k (3k-1) + (3(k+1)-2 = 1,5k²-0,5k+3k+1=1,5k²+2,5k+1

Преобразуем  правую  часть:

0,5 (k+1) (3(k+1)-1)= 0,5 (k+1)(3k+2)=1,5k²+k+1,5k+1=1,5k²+2,5k+1

Левая часть оказалась равна правой части.

Ответ Теорема доказана.

Схема метода математической индукции может быть записана кратко:

1.  S (1) -  выполняется.

2. Г:  S(k), “kÎ N

3. S(k) Þ S(k + I)

В математической литературе традиционно ММИ представля­ется в виде этапов:

1.  Проверить справедливость S(a₁).

2. Доказать, что если выполняется S(k), то справедливо S(k+ I). Однако предпочтительнее выделять второй этап в виде гипотезы, чтобы уже от нее переходить непосредственно к доказатель­ству (этап 3).

Конечно, доказать формулу можно только в том случае, когда она действительно имеет место, т. е. гипотеза верна.

Задание 7-3. Проверить, является ли формула S(n)= (n-1) / (3n+1) суммой ряда:

S_n=1/ (1·2) + 1/ (2·3) +…+ 1/ (n·(n+1))

Комментарии. При n=1  имеем 0,5=0,5 – формула верна. Гипотеза: при л = k формула справедлива:  S_k=1/ (1·2) + 1/ (2·3) +…+ 1/ (k·(k+1)) – убедимся в ее справедливости при л = k+1:

S_k+1=1/ (1·2) + 1/ (2·3) +…+ 1/ (k·(k+1))+1/(k+1)((k+1)+1)=

= 1/ (k·(k+1))+ 1/(k+1)(k+2)=…=(k+2)/(3k+4)

Подставим n=k+1 в проверяемую формулу: S(k+1)= ((k+1)-1) / (3(k+1) +1)=…=k/(3k+4)

результаты оказались различными.

Замечание. Но из того, что доказать не удалось, не следует неправильность гипотезы. Возможно, проведены ошибочные рассуждения. Что бы отрицать справедливость, достаточно привести частный случай, не подтверждающий истинности формулы.

Пусть т=4, тогда S₄=…=4/5,  S(4)=5/16 – разные значения.

Ответ. Не является.

При применении метода математической индукции важны все этапы алгоритма:

1 этап – база индукции дает возможность определить нижнюю границу применения формулы или действия неравен­ства. В то же время мы проверяем справедливость этой формулы или неравенства для первого элемента множества.

2 этап -  шаг к обобщению, который формулируется в виде гипотезы, справедливой для всех л – k. Этот этап называют индуктивным переходом или индуктивной фазой, т.е. от одного частного случая мы перешли к обобщению для л = k.

3 этап  - устанавливается, насколько сильны индуктивные выводы: либо убедиться в их справедливости, либо их опровергнуть для значения, следующего за обобщенным значением, т.е. для k‘ = k + 1. Это так называемая фаза доказательства.

Задание 7-4. Доказать, что 6^2л- 1 кратно 35.

Комментарии. При п = 1 – делится на 35 (справедливо). Пусть при  n=к – делится на 35

Докажем тогда, что при л = k + 1 выражение (6^2(k+1) – 1) делится на  35.

Имеем 6^2(k+1) – 1= 6^{2k + 2}- 1 = б^2k – б²- 1 = 36 · 6^2k- 1. Необходимо в последнем выражении “увидеть” гипотезу. Для этого к нему одновременно добавим и вычтем число 36

6^2(k+1) – 1=36 · 6^2k- 1+36-36=36 · 6^2k-36 +35=36(6^2k-1)+35 – первое  слагаемое делится на 35 по гипотезе, второе, очевидно, делится на 35. По теореме о делимости суммы, выражение делится на 35, что и следовало доказать.

Методом математической индукции можно доказывать нера­венства. При этом нужно особенно внимательно относиться к пер­вому этапу алгоритма, так как в условии не всегда оговаривается его область определения.

Задание 7-5. Доказать справедливость неравенства 2ⁿ > 2n + 1.

Решение. Для п= I – ложно, для п = 2 – ложно, для п = 3 – истинно. Таким образом, неравенство может быть верным для всех п > 3, п Î N.

Гипотеза: неравенство справедливо “k>.3, т.е. 2^k > 2k + 1.

Докажем справедливость формулы для п = k + 1. Это значит доказать справедливость неравенства: 2^{k +1} > 2(k + 1) + 1 или. 2^{k +1} > 2k + 3

Действительно, левая часть неравенства имеет  вид: 2^{k +}‘ = 2 • 2^k.

По гипотезе. 2^k>2k + 1, поэтому 2^{k +1} > 2(2k + 1)

С учетом правой части получим: 2(2k + 1) > 2k + 3 или 4k + 2 > 2k + 3 – верное, очевидное неравенство, что и требовалось доказать.

Метод математической индукции имеет весьма широкое применение, кроме рассмотренных видов таковых заданий, он может быть примененным и для доказательств ряда теорем, изучении свойств конечных мно­жеств и др.

Задание 7-6. Доказать, что число подмножеств некоторого множества M, содержащего n элементов, равно p=2ⁿ.

Решение. Если множество М пусто, то оно содер­жит единственное подмножество –  самого себя.

Если множество М={a}- один элемент, то оно имеет два  подмножества: Æ и а.

Если множество М={a,b} – два элемента, то оно имеет 4 подмножества: Æ и а, b, ab.

Пусть число подмножеств k-элементного множества М равно p=2^k.

Докажем, что это утверждение справедливо для п= k+ 1, т.е. в (k+1)-элементном множестве число подмножеств равно p=2^k+1.

Рассмотрим множество М(k+1) = {а₁, а₂, а₃, …a_k,  a_k+1} – содержащее k+1 элемент.

Оно отличается от М(n) = {а₁, а₂, а₃, …a_k }, добавлением к нему элемента a_k+1

Среди искомого числа подмножеств уже есть 2^л под­множеств М, и ни в одном из них элемент a_k+1 не содержится. Кроме того, подмножествами М(k+1) будут являться все те же 2^k подмножеств, но с добавленным в каждое элементом a_k+1 и все они будут различ­ны. Очевидно, что других подмножеств нет. Тогда общее число подмножеств равно их сумме: 2^k + 2^k = 2^k+1, что соответствует на­шей гипотезе? что и требовалось доказать.

Задание 7-7. Докажите методом математической индукции истинность выражение. Проверить справедливость  при n.>2 для не менее, чем трех значений

1. 1+3+…+(2n-1)=n²

2.

3.  Сумма n³ +5n – делится на 6 при любом натуральном n.

4.  Выражение n³ +11n – кратно  6 при любом натуральном n.

5. Выражение 7^т-1 – кратно  6 при любом натуральном n.

6. 1+2+3+…+n=n(n+1)/2

7.

8.

9. 1·2+2·3+3·4+…+n (n+1) =n (n+1)(n+2)/3

10. 1·4+2·7+3·10+…+n (3n+1)= n(n+1)²

4. Статистическое обобщение.

В человеческом обществе часто приходится иметь дело с массовыми события, примерами  которых могут служить:

~     транспортные перевозки пас­сажиров и грузов,

~     рождаемость людей и  рост народо­населения,

~     распространение заболеваний и эпидемий,

~     динамика преступлений,

~     всевозможные прогнозы: погоды, выборов, про­дажи товаров, рынка труда и т.д.

Как правило, численность объектов, охваченных тем или иным массовым событием, весьма велико. При обработке соответствующего статистического материала приходится оперировать с очень большим числом данных, что не всегда экономически оправдано.

Анализ массовых явлений позволяет установить устойчивое распределение интересующих признаков явления. Полученная цифровая информация имеет конкретное практическое значение для организации медицинского обслуживания и торговли, прог­нозирования уровня экономической стабильности и борьбы с преступностью и т.д.

Возникает вопрос, до каких пределов можно уменьшить такую численность с минимальным влиянием на результат обработки таковых данных.  При этом возникает необходимость ведения статистических обобщений, которые представляют собой особый вид индуктивных умо­заключений, связанный с анализом массовых событий.

Для статистических обобщений необходим анализ индуктивных умозаключений. Но полной индукцией воспользоваться невозмож­но, поэтому применяется выборка – один из видов  неполной индукции

Статистические обобщения - умозаключения неполной индукции, в которых установленная в посылках количественная информация о частоте признака в исследуемом множестве пере­носится на все множество.

Задачами статистических обобщений являются изучение количественных отношений причинной связи явле­ний, описание и измерение закономерностей общественного развития.

Статистические обобщения исследуют массовые объекты или явления, дифференцируя их по группам, подмножествам, опре­деляя средние количественные характеристики различного вида.

При работе со статистическими обобщениями находит подтвер­ждение один из законов философии, переход количественных из­менений в качественные показатели.

Обычно используются различные методы для:

~     статистических на­блюдений (перепись, выборочные обследования),

~     обра­ботки и анализа данных (балансы, вычисление средних величин и т.д.).

Для обработки данных, определения ошибки выбор­ки, установления надежности результата применяются методы математической статистики и теории вероятностей.

С понятием “вероятность” люди сталкиваются довольно часто: и в повседневной жизни (“невероятно, но факт!”), и при изуче­нии математики (теория вероятностей) и логики (вероятностные умозаключения).

Вероятность - это количественная мера возможности появле­ния события А.

Количественная мера вероятности выражается либо словами, либо численно. Описание и условная шкала вероятностей приведена  на рисунке:

Известны  несколько определения вероятности, но для анализа массовых явлений используется только статистическое определе­ние, связанное с частотой появления событий.

Пусть т - число благоприятных событию А исходов, п – об­щее число исходов. Тогда статистическая вероятность события А находится по формуле Р(А)[3] = т/п, причем 0 < Р(А) < 1, т < п.

Например, из ста изученных случаев получения осложнений после гриппа в 85 случаях больной переносил заболевание на ногах и не обращался к врачу. Значит, вероятность получить осложне­ние после гриппа при самолечении (событие А) равна Р(А) = = 85/100 = 0,85, или 85%.

Статистическая вероятность характеризует не результат одного какого-то события, а весь класс, все множество аналогичных яв­лений.

Вероятность статистических обобщений можно увеличить с по­мощью анализа и отбора фактов. Так, изучая результаты выборки из некоторой генеральной совокупности, необходимо стремиться, чтобы структура выборки наиболее точно характеризовала струк­туру соответствующей генеральной совокупности.

Условия повышения вероятности статистических обобщений.

1.Количество исследуемых элементов выборки должно быть достаточным для выводов. Выборка должна быть представительна или репрезентативна.

Например, минимальное количество дета­лей в партии, проверяемой на качество, устанавливается с помо­щью законов теории вероятностей и математической статистики; количество опрошенных свидетелей преступления должно быть достаточным для того, чтобы вывод не оказался поспешным, но их показания не должны быть противоречивы.

2. Элементы выборки должны быть разнообразны, взяты слу­чайно. Должен соблюдаться принцип рандомизации.

Например, психологи, изучая характерные повадки в поведении отдельных преступников, создали психологические обобщенные портреты, которые помогают в конкретных расследованиях; благодаря пла­номерно и грамотно проведенной выборке для составления прог­ноза о результатах выборов в президенты, в США и Литве были точно предсказаны результаты выборов.

3.   Изучаемый признак должен быть характерен, типичен для всех элементов множества изучаемых объектов – генеральной со­вокупности.

4.   Изучаемый признак является существенным для всех эле­ментов данного класса.

Статистические обобщения дают возможность совершать об­ратные умозаключения по типу дедуктивных умозаключений: от генеральной совокупности к выборке. Схема рассуждений имеет вид

“Если п% генеральной совокупности имеет признак .Р, вероятно и п% выборки будет иметь признак Р”.

Задание 7-8. Логические задачи.

1. Студентки  Мария, Нина, Поля.  Оля участвовали в соревнованиях. На вопрос, какие ими были заняты места, были получены следующие ответы:

1. Оля была второй, Поля – третья.

2. Оля была первой, Нина – вторая.

3. Мария была второй, Поля – четвертой.

В каждом из ответов, одна часть верная, другая – нет. Какие места заныли студентки в соревнованиях?

Комментарии. 

Обозначим: Мария – М, Нина – Н, Поля – П, Оля –О. Ведем индексы, которые будут соответствовать возможным,  занятым ими  местами. Составим логические уравнения для каждого ответа, причем, зная, что одна часть ответа истина, то дизъюнкция для каждого ответа будет истинной, поэтому в правой части уравнения поставим 1.

О₂+П₃=1 – по первому ответу,

О₁+Н₂=1–  по второму ответу,

М₂+Р₄=1 – по третьему ответу.

Получили систему уравнений. Ответом на задачу будет конъюнкция этих уравнений. Можно перемножить сразу все уравнения, но лучше перемножим первые два, а после  упрощения, умножим на третье.

(О₂+П₃) (О₁+Н₂) =1;     О₂О₁+ О₂ Н₂+ П₃ О₁+ П₃ Н₂=1, очевидно, что О₂О₁ =0 и О₂ Н₂=0, поэтому осталось уравнение: П₃ О₁+ П₃ Н₂=1, которое умножим на третье уравнение:

(П₃ О₁+ П₃ Н₂)(М₂+Р₄)=1 – после упрощения получим:  П₃ О₁ М ₂=1.

Ответ. О₁ М ₂ П₃ Н₄ – занятые места.

2. При составлении расписания на один день необходимо учесть следующие условия:

Математику можно поставить первым, либо вторым уроком. Историю – 1 или 3 уроком. Литературу – 2 или 3 уроком. Составьте такое расписание или докажите невозможность его составления.

Комментарии. Первым уроком может быть математика или  история, поэтому имеем уравнение: М₁ +И₁ = 1, аналогично: М₂ + Л₂ =1,  И₃+Л₃=1. Перемножим и упростив, получим варианты расписания М₁ Л₂ И₃=1 или И₁ М₂ Л₃=1

Ответ. М₁ Л₂ И₃ или И₁ М₂ Л₃

3. Трех студентов  из четырех  (X,Y,Z,T) спросили о возрасте двоих из этих четыре.. Получены ответы:

1. x=22; y=21               2. z=19; x=21             3. t=21; z=19

Установите, если можно, возрасты студентов, если в каждом из  ответов одно число верное, другое нет. Все числа соответствуют возрасту одного их этих студентов.

Ответ. X=22, Y=18,  Z=19,  T=21

4. Каждая из девушек (Аня, Варя и Клава) пришли на уроки в свитерах разного цвета. На вопрос кто, в каком свитере был, получены ответы:

Аня была в красном, Варя не в красном, Клава не в синем свитере.

Только один из ответов, верный  Можно ли узнать, кто и в каком свитере был?

Ответ. Аня –  в синем, Варя – в красном, Клава – в белом свитере.

5. Коля пригласил свою сестру приехать к нему в гости. После этого он получил от нее три сообщения:

а)  Я поеду в гости, если только со мной поедет папа;

б)  Чтобы я приехала, необходимо, чтобы меня сопровождала мама.

в)  Либо приедем мы с мамой, либо приедет только папа

Когда приехали гости, оказалось, что из трех сообщений ис­тинным было только одно. Можно ли узнать, кто приехал навестить Колю?

5. Примеры не индуктивных умозаключений.

В научном мире не обязательно открытия и обоснования проходить через систему индуктивных рассуждений. Такими понятиями как:  анализ и синтез,  сравнение и  аналогия, предсказания и гипотеза, догадка и интуиция, предвидение, моделирование и др.,  должен владеть грамотный, высоко   квалифицированный специалист в любой области своей деятельности.

Рассмотрим нескорые из таковых логических операций.

5.1. Умозаключение по аналогии

Аналогия - логическая операция, позволяющая сделать  вывод о принадлежности определенного признака исследуемому единичному объекту на основании его сходства в существенных чертах с другими, уже известными единичными объектами.

Виды аналогии:

1. Научная (строгая). Необходимая связь между сходными признаками образа и модели. Выводы достоверные. Р(А) = 1

Например:

~     аналогия между теоремами планиметрии и стереометрии;

~     свойства натуральных, целых, рациональных и действительных чисел;

~     дифференциальные уравнения – математические модели описания проблем физики, биологии, техники и др.

2. Популярная (нестрогая). Сходны условия, структура и т.д. Выводы вероятностные О<Р(А)<1

Например:

~     моделирование ситуаций, испытания технических моделей на прочность, (барокамера  есть  модель состояния невесомости);

~     техническое моделирование: модель корабля, самолета, ракеты, моста;

~     аналоговые машины;

~     испытание лекарств для людей на животных;

~     приметы (погодных явлений)

3. Ложная. Нарушение правил аналогии, внешнее сходство, несущественные признаки, недостаточность признаков. Выводы ложные. Р(А)= 0,

Например:

~     съедобные и несъедобные растения (грибы, ягоды);

~     суеверия и гадания;

~     пять правильных Платоновых многогранников и фундаментальные

~     проблемы мироздания

Приведем примеры научной аналогии.

1. По аналогии Солнца со свечой М.В.Ломоносов сделал открытие – вывод о том, что свет есть материя.

2. По аналогии между падением яблока и движением небесных тел Ньютон открыл закон всемирного тяготения.

Аналогия необходима не только ученым для открытий новых законов. Умение проводить аналогии между различными, но в чем-то схожими явлениями, предметами и другими объектами помо­гает учащимся осваивать науки, использовать на практике прави­ла и формулы.

Так, одно и то же дифференциальное уравнение описывает разные законы физики, биологии, социологии и др.  Например, с помощью уравнения показательного роста у’ = ky, имеющего решение у = Се^kx можно описать распад радиоактив­ного вещества, рост народонаселения.

Аналогия - это обще учебное умение переносить знания с од­ного предмета на другой в аналогичных заданиях.  Звания математики по аналогии переносятся на все другие науки. Поэтому  математику называют и царицей, и служанкой всех наук. Можно сообразить, ка­кая поэтичная, но противоречивая аналогия?

Умозаключения по аналогии имеют широкий диапазон приме­нения: в физике и различных направлениях техники, в лингвис­тике и кибернетике, в истории и биологии.

При этом достаточно просто решаются многие вопросы путем создания ситуаций, ана­логичных реальным.

Например, при конструировании самолета в аэродинамической трубе испытывается его точная копия. Про­веряется устойчивость и модели, и реального самолета в полете. И если выводы будут неблагоприятными, то конструкторы будут продолжать доводку самолета. При этом промышленность эконо­мит реальные деньги. В технике также давно вошло в практику пред­варительное изучение условий эксплуатации на модели. И только при получении положительных результатов проект воплощается в действительность: строится мост, плотина, ГЭС и

5.2. Моделирование как метод.

Слово “модель” произошло от ла­тинского modulus - мера.

В науке под моделью понимают искусст­венно созданный объект, аналогичный своему прототипу.

Главная задача модели: воспроизвести в упрощенном варианте взаимосвя­зи и отношения реального исследуемого объекта – прообраза – с действительностью с целью изучения этих отношений тогда, когда непосредственно это сделать сложно или невозможно.

Существуют различные типы моделей: физические, логико-ма­тематические, вещественно-математические.

Простейшим примером физической модели является макет.

При­рода вещественно-математических моделей полностью отличает­ся от их реально существующих прототипов, но математическое описание модели аналогично прообразу.

Логико-математические модели конструируются из знаков. Например, модель мыслитель­ной операции может быть изображена чертежом или дедуктивной формулой.

Все три вида моделей могут быть взаимосвязаны. Первоначаль­но выстроенный на бумаге вариант логико-математической моде­ли может при необходимости дополниться вещественно-матема­тической моделью или даже физическим макетом.

В настоящее время существует реальная возможность модели­рования многих умственных процессов. Но разработки в области искусственного интеллекта имеют свои пределы, и на данном этапе моделируются лишь отдельные виды умственного труда.

Создание модели дает возможность изучать явление, изолированное от из­мененной информации, и потому порой в ходе такого анализа быстрее возникают перспективные гипотезы, догадки, ведущие к новым открытиям.

В настоящее время именно компьютер дает возможность моде­лировать многие процессы, что очень выгодно с экономической точки зрения. Так, дорогостоящие, например химические, реак­ции заменяют их компьютерной моделью, а их результат удается увидеть даже с сохранением цвета синтезируемого вещества.

Большое значение имеет компьютерное моделирование при изучении многих реальных экономических задач.

В настоящее вре­мя имитация реальных процессов случайными числами осуществ­ляется с помощью ЭВМ.

Процесс отыскания возможных значе­ний случайных чисел называется моделированием или “разыгры­ванием” случайной величины.

Компьютерное моделирование дает возможность математикам применять метод статистических испытаний, метод Монте-Кар­ло, моделируя процесс получения случайных чисел.

Метод Мон­те-Карло полезен и эффективен для вероятностных расчетов в решении самых различных прикладных задач, которые трудно или невозможно решить аналитически.

Метод статистических испыта­ний универсален, так как не ограничен рамками сложных фор­мул и условий. Поэтому его используют для проверки степени точности построенных аналитических моделей, применяемых в конкретных ситуациях в предметных различных областях: теории массового обслуживания, теории игр, статистической физике, экономике и т.д.

5.3. Гипотезы

В познавательной цепочке от незнания к знанию решающим звеном является гипотеза. О суждении, являющемся гипотезой, в настоящее время нельзя сказать, истинно оно или ложно. Для ответа на этот вопрос необ­ходимо найти подтверждения, обоснования, доказательства мыс­ли, сформулированной в виде гипотезы.

Гипотеза - это предположение о свойствах, причинах, струк­туре, связях изучаемых объектов или явлений.

Понятие “гипотеза” имеет несколько значений.

1.  Гипотезой называют предположение о существовании явле­ний, о причинах их возникновения и характере развития.

2.  Гипотезой называют процесс мышления, заключающийся в определении предположения и его доказательств.

3. Гипотезой называют теорию, в которой идея обоснована толь­ко до уровня предположения значительной степени вероятности.

В гуманитарных областях знаний – политоло­гии, социологии, исторических исследованиях и судопроизвод­стве – гипотезы принято называть версиями.

По функциям в процессе познания характера объекта исследо­вания, гипотезы бывают:

~     Описательные. Что представляет…? Каки­ми свойствами обладает…? и др

~     Объяснительные. Почему…? Како­вы…? и др.

Любая гипотеза, в том числе и ложная, стимулирует процесс познания, развивает науку. По степени общности гипотезы делят­ся:

~     Общие,

~     Частные

~     Единичные.

Отталкиваясь от рабочей ги­потезы и находя ей подтверждения, можно получить прямой вы­ход на научную теорию.

Гипотезы лежат в основе гипотетико-дедуктивного метода на­учного познания.

Этот метод заключается в том, что поскольку в дедуктивных умозаключениях истинность посылок переносится на заключение, то посылка становится гипотезой, а заключение но­сит вероятностный характер.

Необходимость возникновения гипотез предопределена прогрес­сом науки. Новые гипотезы стимулируют открытие новых сведе­ний, не имеющих объяснений через известные положения в той или иной предметной области.

Схема возникновения и становления гипотезы как формы раз­вития теории может быть представлена таким образом.

1.  Описание фактов:

~       средствами естественного языка;

~       статистическими методами (таблицы, ряды динамики и др.);

~       графически (графики, диаграммы, блок-схемы и др.),

2. Анализ известных теорий – объективных законов науки. Син­тез выводов.

3.  Догадки научного поиска (не исключая интуицию, заблуж­дения и т.д.).

4. Выдвижение рабочей гипотезы.

5.  Развитие и проверка рабочей гипотезы (анализ следствий, полученных при допущении достоверности рабочей гипотезы, сопоставления следствий с данными опыта, эксперимента).

6.  Отказ от отработанной гипотезы при наличии противоречий и выдвижение новой.

7.  Развитие и проверка новой рабочей гипотезы.

8.  Формулирование выводов – новых законов, теории и т.д.

Сформулируем условия состоятельности гипотезы. Гипотеза должна быть:

1.  Внутренне не противоречивой, а также согласовываться с исход­ными данными;

2.  Принципиально проверяемой, иметь очевидные подтверждения, проверяемой в эксперименте;

3.  Признанной состоятельной только после ее теоретического и экспериментального обоснования;

4.  Информативной, а именно  нести в себе новую информацию.

Превращение гипотезы в достоверное знание или в научную тео­рию проходит длительный период. Способы подтверждения гипотез.

1.  Обнаружение предполагаемого объекта, свойства или явле­ния.

2.  Выведение следствий и их экспериментальная проверка.

3.  Косвенный путь через опровержение всех ложных гипотез.

В способе подтверждения гипотез через выведение следствий практически невозможно установить все возможные следствия и доказать их истинность, поэтому заключение носит вероятност­ный характер.

Аналогично осуществляется опровержение гипотез. Для опровержения достаточно убедиться в ложности даже одного из следствий, то вывод по за­конам дедукции имеет достоверный характер. Риторический вопрос при этом “Почему гипотеза не подтвердилась” остается для автора гипотезы.

1.Возможно, была сделана изначально оши­бочная, ложная посылка.

2. Иногда это результат не совсем точных формулиро­вок в следствиях или нарушение чистоты эксперимента во время проверки или гипотезы, или ее следствий.

В случае получения отрицательного результата не стоит сразу отказываться от гипотезы. Следует вновь и вновь перепроверить формулировки следствий, а также эксперименты, их подтвержда­ющие или опровергающие, искать новые следствия.

Вообще, чем больше следствий, подтверждающих гипотезу опытным путем, тем ближе к истине эта гипотеза. Метод позна­ния истины в том и заключается, что из частных гипотез, прове­ряемых опытом, вырастают общие абстрактные гипотезы.

Каждая из частных гипотез подтверждалась фактами, други­ми известными законами, опытом человечества. Поэтому общая гипотеза переросла в научную теорию, имеющую достоверный характер.

Порой две альтернативные гипотезы носят противоречивый характер. Тогда ищутся факты, подтверждающие одну и опровер­гающие другую гипотезу.

5.4. Софизмы.

Нарушение правил построения истинных умозаключений приводит к ложным выводам. В математики такие доказательства называют софизмами. Основной принцип построения софизмов основывается на “очевидности”, игнорирования общих правил, путем сведения их к частным случаям и др.

Задание 7-9. Софизмы. Найти ошибки в рассуждениях.

1. a² - a²= a² - a²

a(a-a)=(a-a)(a-a) – сократим на а-а

а = а + а или a=2a, поэтому 1=2.

Где ошибка?

2. Возьмем систему уравнений: 2x+y=8 b x+2=0,5y. Подставив второе уравнение в первое, получим: 4=8. В чем дело?

3. 16-36=25-45

4²-4·9=5²-5·9

4²- 2·4·9·0,5 =5²-2·5·9·0,5

4²- 2·4·4,5 =5²-2·5 · 4,5       -   прибавим к обеим частям  по 4,5²

4²- 2·4·4,5 +4,5²=5²-2·5 · 4,5 +4,5² – свернем  квадраты разностей

(4 – 4,5)² = (5 – 4,5)² – извлекаем квадратный корень из обеих частей

4 – 4,5 = 5 – 4,5 или 4=5, далее 2·2=5 – где ошибка?

4. Ни у кого не вызывает сомнения отверждение, что полу умный и полу глупой – одно и тоже, поэтому запишем равенство 0,5·У=0,5·Г, которое умножим на 2. Получили, что У=Г,а это значит умный равен глупому. В чем здесь дело?

5. Пусть человек Ахиллес бегает в 10 раз быстрее черепахи и между ними 100м. Пусть также, что человек – гонится за  черепахой, они движутся  в одном направлении. Пока Ахиллес пробежит 100м, черепаха уползет на 10 м. Пока Ахиллес пробежит 10м, черепаха уползет на 1м. Пока Ахиллес пробежит 1м, черепаха уползет на 0,1м. Пока Ахиллес пробежит 0,1м, черепаха уползет на 0,01м и т.д. Значит, Ахиллес не догонит черепаху. В чем здесь дело?

Задание 7-10. Подобрать не менее 3 софизмов или курьезных ситуаций, связанных с ложными рассуждениями из различных областей знаний

Контрольные вопросы и задания

1. Схема возникновения умозаключений.

2. Состав умозаключения.

3. Виды умозаключений.

4. Виды дедуктивных умозаключений

5. Понятие силлогизма

6. Методы научного познания.

7. Аналогия как форма мышления.

8. Индукция как форма мышления.

9. Метод математической индукции.

10 Понятие статистического обобщения.

11. Не индуктивные умозаключения

Требования к знаниям умениям и навыкам.

Студенты должны иметь представления о видах рассуждений, которые приводят к формулировке вывода. Уметь проводить доказательства на основе принципа математической индукции. Иметь представление об иных формах рассуждений

---

[1] Д. Пойа, “Ма­тематика и правдоподобные рассуждения”.

[2] Леверье рассчитал влияние новой планеты  на отклонение Урана, а немецкий астроном Галле в 1846 г. открыл Нептун.

[3] В теории вероятностей такой способ определения вероятностей называется классическим способом.