Случайные непрерывные величины (СНВ)

План:

1. Понятие СНВ,  функция ее распределения
2. Понятие плотности распределения, функция плотности НСВ
3. Числовые характеристики НСВ.
4. Законы распределения НСВ.
5. Центральная предельная  теорема (теорема Ляпунова).

Теоретические сведения

1. Понятие СНВ,  функция ее распределения

Случайной непрерывной  величиной является величина, которая может принять любое из значений некоторого промежутка. Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим воз­можных значений случайной величины.

Случайная непрерывная величина, принимать все свои значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений случайной дискретной величины может быть конечным или бесконечным.

При рассмотрении ДСВ рассматривалась функция F(x) распределения случайной дискретной величины. Аналогично можно вест речь и о функции распределения случайной непрерывной величины, для определенности ее так же обозначают как F(x).

Вместо термина “функция распределения” используют термин “интегральная функция“, смысл которого будет понятен в дальнейшем. .

Свойства функции распределения случайной непрерывной величины аналогичны свойствам функция распределения случайной дискретной величины. Они были приведены при рассмотрении случайных дискретных величин.

Функция F(x) не убывающая, непрерывная, множество значений промежуток [0; 1].

Случайной непрерывной  величиной является величина, функция распределения F(x) которой, непрерывна на всей числовой оси.

Функция распределения СНВ F(x) есть кусочно-дифференцируемая функция с не­прерывной производной.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некотором интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом ин­тервале;

P(a ≤ X ≤b) = F (b) – F (а).

При рассмотрении функции распределения, числовой промежуток записывается так же в виде [x₁; x₂], тогда вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в этом интервале равна:

p(x₁≤ x ≤ x₂) = F (x₂) – F (x₁).-  что более понятно и привычно.

Вероятность того, что случайная непрерывная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Задание 6-1. Случайные непрерывные величины заданы функциями распределения

1.

Найти вероятности того, что в результате испытания  величина X  примет значение, принадлежащее интервалу (0;2)

Решение. P(0<x<2)=F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2

2.

Начертить график данной функции распределения.

2. Понятие плотности распределения, функция плотности НСВ

Непрерывная случайная величина задава­лась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную слу­чайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределение или плотностью вероятности (иногда ее называют диф­ференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f (х) - первую производную от функции распределения F (х): f (х)= F’(х)

Из этого определения следует, что функция распре­деления F(х) является первообразной для плотности распре­деления f (х):  F(х)=ò f (х).

Функцию f (х) можно называть дифференциальной функцией

Таким образом, зная интегральную функцию (функцию распределения) можно найти дифференциальную функцию(функцию плотности) и наоборот по формулам:

f (х)= F’(х)                               F(х)=ò f (х).

Заметим, что для описания распределения вероятно­стей дискретной случайной величины плотность распре­деления неприменима.

2.1 Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случай­ная величина X примет значение, принадлежащее интер­валу (а. b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

P(a<X<b)= = F (b) – F (а)

Геометрически полученный результат можно истолко­вать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограни­ченной осью Ох, прямыми х = а и х = b, кривой распределения f(х).

Замечание. Если f(х) — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то P(—а < X < а) - Р (÷Х÷ < а) = 2 . Действительно,

Задание 6-2.

1. Задана плотность вероятности случайной величины Х.

Найти   вероятность того, что в результате испытания X примет зна­чение, принадлежащее интервалу (0,5;  1).

Решение. Искомая вероятность Р (0,5 < X < 1)= =x²÷¹_0,5=1²-0,5²= 1-0,25 = 0,75.

2. Задана   плотность  вероятности  случайной   ве­личины X

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Решение. Искомая вероятность равна

3. Выполнить задания [1[1], С 64-78]

1). Пример 2 с 65                  3). № 365 с 68                       5). № 372 – 376  с 75

2). Пример 4 с 66                  4). Пример 4 с 71

2.2. Свойства плотности распределения

Свойство  1. Плотность   распределения – неотрицательная функция.

Геометрически это свойство означает, что точ­ки, принадлежащие гра­фику плотности распреде­ления, расположены либо над осью Ох, либо на этой  оси.

График    плотности   распределения   называют   кривой распределения.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в  пределах от –  ¥ до +¥ равен   единице;

Геометрически это означает, что вся площадь криво­линейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.

Если все значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то =1

2.3. Закон    равномерного   распределения вероятностей

При решении задач, которые выдвигает практи­ка, приходится сталкиваться с различными распределе­ниями непрерывных случайных величин. Плотности рас­пределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, на­пример, законы равномерного, нормального и показатель­ного распределений. В настоящем параграфе рассматри­вается закон равномерного распределения вероятностей. Нормальному и показательному законам посвящены последующие темы.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Приведем пример равномерно распределенной непре­рывной случайной величины.

Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в не­которых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину X, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности лю­бое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким об­разом, X имеет равномерное распределение.

3. Числовые характеристики НСВ.

1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины- X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, b], называют определенный интеграл М(Х) =

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то М(Х) =

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т, е. существует интеграл   то М(Х) = . Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) ниж­него предела к -¥ , а верхнего – к +¥

По аналогии с дисперсией дискретной величины опре­деляется и дисперсия непрерывной величины.

2. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения X принадлежат отрезку [а, b], то

D(x)=

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то D(x)=

3. Среднее квадратическое отклонение непрерывной слу­чайной величины определяется, как и для величины диск­ретной, равенством   .

Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непре­рывных величин.

Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:

D(x)=        D(x)=

Задание 6-3.

1. Случайная величина X задана плотностью распре­деления

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X. Согласно определениям 1 и 2 имеем:

» 0,47.

Задание 6-4. [5[2], C 126], примеры 1-2.

5. Законы распределения НСВ

5.1. Равномерное распределение. Распределение вероятностей не­прерывной случайной величины X, принимающей все свои значе­ния из отрезка [а; 6], называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т. е.

Отсюда получим

Но, как известно =1, то из последнего равенства получим c=1/(b-a)

Итак, плотность вероятности непрерывной случайной величи­ны X, распределенной равномерно на отрезке [а; 6], имеет вид:

Задание 6-5. На отрезке [а; b] наугад указывают точку. Ка­кова вероятность того, что эта точка окажется в левой половине отрезка?

Обозначим через X случайную величину,— координата выбран­ной точки. X распределена равномерно (в этом и состоит точный смысл слов: «наугад указывают точку»), а так как середина отрез­ка [а; 6] имеет координату ^i—, то искомая вероятность равна (см. § 49, п. 2):

Впрочем, этот результат был ясен с самого начала.

5.2. Закон нормального распределения

Закон распределения вероятностей непрерывной слу­чайной величины X называется нормальным, если ее дифференци­альная функция f (x) определяется формулой

где: а = М (X) – математическое ожидание величины X, - является средним квадратическим отклонением величины.

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: s и а. Достаточно знать эти пара­метры, чтобы задать нормальное распределение.

Вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, s  среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Свойства функции у = f (x):

1. Функция у = f (x) – определена, непрерывна, положительная на всей числовой оси,

2. Функция у = f (x) является четной, и ее график симметричен относительно оси Оу.

3. При х ® +¥ или х® -¥, у ®0.

4.  В  точке  х = 0  функция  у = / (х) принимает значение у_шах =

так как ее производная

обращается в точке х = 0 в нуль с изменением знака + на — при переходе через   нее,

5.  По второй производной

находятся две точки перегиба графика из условия у” = 0: x _1-2 = ±s.  В этих точках функция у = f (x) принимает значение

6. График функции у = / (х) изображен на рисунке

Отметим, что, чем больше s, тем меньше у_{max b} тем дальше точки перегиба отстоят от начала координат, и наоборот, см рисунок.

Если а ¹ 0, то график функции у = f (x) по оси ОX сдвигается на а единиц.

Нормальное распределение с параметрами а = 0 и а = 1 назы­вается нормированным. Дифференциальная функция в случае та­кого распределения будет:

Функция j(x) -четная

Для этой функции составлена таблица ее зна­чений для положительных значений х Такая таблица находится в соответствующих справочниках и учебниках.

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a;b)  вычисляется по формуле:

Сделаем в этом   интеграле   замену   пере­менной,  полагая (x-a)/ s = t. Тогда: х = а + st

dx = s t и

Имеется в виду, что не берется в элементарных функциях. Для его вычисления вводится функция Лапласа (интеграл вероятностей)

Функция Ф(х) – монотонно возрастающая, нечетная.

Для ее значений также составлена соответствующая таблица значений, поэтому при решении задач применяется формула:

Задание 6-6. Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а = 30 и s = 10. Найти ве­роятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10; 50).

Решение::

По таблице приложения 3 находим Ф (2) = 0,4772. Отсюда искомая вероятность

Р (10 < X < 50) = 2 • 0,4772 = 0,9544.

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от ее математи­ческого ожидания по абсолютной величине меньше заданного поло­жительного числа δ, т. е. найти Р (Х — а) < δ). Используя соответствующую фор­мулу и нечетность функции Ф (х), имеем: Р (Х — а\ < б) =

Задание 6-7. Пусть случайная величина X распределена по нормальному  закону  с   параметрами   а = 20   и   s = 10.   Найти

Решение.

По таблице приложения находим: Ф (0,3) = 0,1179.

Поэтому

5.3. Распределение случайных ошибок измерения. Пусть произ­водится измерение некоторой величины. Разность х — а между результатом измерения х и истинным значением а измеряемой вели­чины называется ошибкой измерения. Вследствие воздействия на измерение большого количества факторов, которые невозможно учесть (случайные изменения температуры, колебание прибора, ошибки, возникающие при округлении, и т. п.), ошибку измерения можно считать суммой большого числа независимых случайных величин, которая по центральной предельной теореме должна быть распределена нормально. Если при этом нет систематически дей­ствующих факторов (например, неисправности приборов, завышаю­щих при каждом измерении показания приборов), приводящих к систематическим ошибкам, то МО случайных ошибок равно нулю.

Итак, принимается положение: при отсутствии систематически действующих факторов ошибка измерения есть случайная величина (обозначим ее через Т), распределенная нормально, причем ее МО равно нулю, т. е. плотность вероятности величины Т равна:

где s –  среднеквадратическое отклонение величины Т, характери­зующее разброс результатов измерения вокруг измеряемой вели­чины.

В силу предыдущего результат измерения есть также случайная величина (обозначим ее через X), связанная с Т зависимостью

X = a + Т.

Отсюда: М (X) = а, s (X) = s (Т) = s и X имеет нор­мальный закон распределения.

Заметим, что случайная ошибка измерения, как и результаты измерения, всегда выражаются в некоторых целых единицах, связанных с шагом шкалы измерительного прибора; в теории удоб­нее считать случайную ошибку непрерывной случайной величиной, что упрощает расчеты.

При измерении возможны две ситуации:

а)  известно о (это характеристика прибора и комплекса условий, при которых производятся наблюдения), требуется по результатам измерений оценить а;

б)  о неизвестно, требуется по результатам измерений оцепить s и а.

5.4. Показательное распределение.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной вели­чины X, которое описывается плотностью

где X — положительная постоянная величина.

Мы видим, что показательное распределение опреде­ляется одним параметром l Эта особенность показа­тельного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от боль­шего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значе­ния); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д.

Примером случайной непрерывной вели­чины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последователь­ных событий простейшего потока

Найдем функцию распределения показательного закона:

Итак

Мы определили показательный закон с помощью плот­ности распределения; ясно, что его можно определить, используя функцию распределения.

Графики плотности и функции распределения показа­тельного закона изображены на рисунке.

Задание 6-8. Написать плотность и функцию распределения показа­тельного закона, если параметр А. = 8.

Решение. Очевидно, искомая плотность распределения

Искомая функция распределения

5.5. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины

Найдем вероятность попадания в интервал (а, b) непрерывной случайной величины X, которая распреде­лена по показательному закону, заданному функцией распределения

Имеем формулу:

Поэтому

Значения функции е^-l находятся по соответствующей таблице.

Задание 6-9. Непрерывная   случайная   величина   X распределена по показательному закону

Найти   вероятность   того,   что   в   результате   испытания  величина X попадает в интервал (0,3, 1).

Решение. По   условию,   А = 2.   Воспользуемся формулой

5.6. Числовые   характеристики   показательного распределения

Пусть  непрерывная случайная величина X рас­пределена по показательному закону

Найдем  математическое ожидание

Интегрируя по частям, получим

Таким образом, математическое ожидание показатель­ного распределения равно обратной величине параметра l. Найдем дисперсию:

Интегрируя по частям,  получим

Следовательно,

Найдем среднее квадратическое отклонение, для  чего извлечем квадратный корень из дисперсии:

Итак, получаем, что математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Задание 6-10. Непрерывная   случайная   величина   X распределена по показательному закону

Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию X,

Решение. По условию, К = 5. Следовательно,

Замечание 1. Пусть на практике изучается показательно распределенная случайная величина, причем параметр l неизвестен. Если математическое ожидание также неизвестно, то находят его оценку (приближенное значение), в качестве которой принимают выборочную среднюю х. Тогда приближенное зна­чение параметра l находят с помощью равенства l²=1/ù x

Замечание 2. Допустим, имеются основания предположить, что изучаемая на практике случайная величина имеет показательное распределение. Для того чтобы проверить эту гипотезу, находят оценки математического ожидания и среднего квадратического откло­нения, т. е. находят выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного рас­пределения равны между собой, поэтому их оценки должны разли­чаться незначительно. Если оценки окажутся близкими одна к дру­гой, то данные наблюдений подтверждают гипотезу о показательной распределении изучаемой величины; если же оценки различаются существенно, то гипотезу следует отвергнуть.

Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надеж­ности.

5.7. Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, “простое” оно или “сложное”.

Пусть элемент начинает работать в момент времени t₀=0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t то, следовательно, за время длитель­ностью t наступит отказ.

Таким образом, функция распределения F (t)=P(T<t) определяет вероятность отказа за время длитель­ностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью t, т. е. вероятность про­тивоположного события Т > t, равна

Функцией надежности R (t) называют функцию, определяющую надежность работы элемента за время длительностью t:

5.8. Показательный закон надежности

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

Следовательно, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид

Показательным   законом надежности называют функ­цию надежности, определяемую равенством

где l интенсивность отказов

.

Как следует из определения функции надежности, эта формула позволяет найти вероятность без­отказной работы элемента на интервале времени длитель­ностью t_t если время безотказной работы имеет, показа­тельное распределение.

Задание 6-11. Время   безотказной   работы   элемента   распределено   по  показательному закону

(t — время). Найти  вероятность того,  что элемент проработает безотказно  100 ч.

Решение. По   условию,   постоянная   интенсивность   отказов А, = 0,02

Вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч, приближенно равна 0,14.

Замечание. Если отказы элементов в случайные моменты времени образуют простейший поток, то вероятность того, что за время длительностью t не наступит ни одного отказа

поскольку   X   в обеих формулах имеет один и тот же смысл (постоянная, интенсивность отказов).

5.9. Характеристическое свойство показательного закона надежности.

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения задач, возникающих на практике. Очень многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обла­дает следующим важным свойством: “Вероятность безот­казной работы элемента на интервале времени длитель­ностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивно­сти отказов l)”.

Итак, в случае показательного закона надежности безотказная работа элемента “в прошлом” не сказывается на величине вероятности его безотказной работы “в бли­жайшем будущем”.

Замечание. Можно доказать, что рассматриваемым свойством обладает только показательное распределение. Поэтому если на практике изучаемая случайная величина этим свойством обладает, то она распределена по показательному закону. Например, при допу­щении, что метеориты распределены равномерно в пространстве и во времени, вероятность попадания метеорита в космический корабль не зависит от того, попадали или не попадали метеориты в корабль до начала рассматриваемого интервала времени. Следовательно, слу­чайные моменты времени попадания метеоритов в космический корабль распределены по показательному закону.

Задание 6-12.

1. Написать функцию распределения F (х) и плотность вероятности f(х) непрерывной случайной величины X, распределен­ной по показательному закону с l = 5.

2. Непрерывная   случайная   величина   X   распределена по пока­зательному закону:

Найти вероятность  того,   что  в   результате   испытания X попадет в интер­вал (0.4.  1).

4. Непрерывная  случайная величина X распределена по показа­тельному   закону

Найти математическое ожидание, среднее к в ад и этическое отклонение и дисперсию л.

5 Время  безотказной   работы элемента распределено по показа­тельному   закону

где   t — время,  ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч. Ответ. 0,37.

Контрольные вопросы и задания

1.  Определение СНВ

2.  Понятие интегральной и дифференциальной функции, их свойства и график

3.  Формулы для нахождения М(Х) и D(X).

4.  Алгоритм нахождения среднего квадратичного отклонения для СНВ

5.  Дать характеристику  законам распределения СНВ.

6.  Понятие функции надежности.

Примерная тематика практических  замятий

1. Вычисление вероятностей и нахождения характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения.

2. Решение задач на формулу геометрического определения вероятности (для одномерного случая, для двумерного случая, для простейших функций от двух независимых равномерно распределенных величии)

3. Вычисление вероятностей для нормально распределенной величины (или суммы нескольких нормально распределенных величин);

4. Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для показательно распределенной величины